קישורים

$\ \Longleftarrow$ שאלות ותשובות $\ \Longrightarrow$

הודעות

העלתי קובץ ובו פתרון של בעיית שפה לפי שיטת גרין. שימו לב שמדובר כאן על תנאי שפה מסויימים, נא לא להתבלבל. --Michael 20:24, 27 בנובמבר 2011 (IST)

לגבי התרגול היום (6.12.2011): הגענו לפתרון $y=c_1\cos{\omega_0t}+c_2\sin{\omega_0t}+\frac{\cos{\omega t}}{\omega_0^2-\omega^2}$

ומשם בלי ממש להסביר איך, שינינו קצת את $c_1$ כדי שהגבול יתכנס. הדרך המלאה היא כך:

$y(0)=c_1+\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2}$

$y'(0)=\omega_0 c_2$

(לא קשה לראות שזה נכון). אפשר לבודד את הקבועים:

$c_1=y(0)-\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2}$

$c_2=\frac{y'(0)}{\omega_0}$

ולכן הפתרון הוא:

$y=(y(0)-\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2})\cos{\omega_0 t}+\frac{y'(0)}{\omega_0}\sin{\omega_0 t}+\frac{\cos{\omega t}}{\omega_0^2-\omega^2}$

$=y(0)\cos{\omega_0 t}+\frac{y'(0)}{\omega_0}\sin{\omega_0 t}+\frac{\cos{\omega t}-\cos{\omega_0 t}}{\omega_0^2-\omega^2}$

עכשיו נוכל להשאיף $\omega \rightarrow \omega_0$ ולקבל (תוך כדי שימוש בכלל לופיטל):

$y=A_1\cos{\omega_0 t}+A_2\sin{\omega_0 t}+\lim_{\omega \rightarrow \omega_0}\frac{\frac{d}{d \omega} (\cos{\omega t}-\cos{\omega_0 t})}{\frac{d}{d \omega} (\omega_0^2-\omega^2)}=$

$=A_1\cos{\omega_0 t}+A_2\sin{\omega_0 t}+\lim_{\omega \rightarrow \omega_0} \frac{-t \sin{\omega t}}{-2\omega}=A_1\cos{\omega_0 t}+A_2\sin{\omega_0 t}+\frac{t \sin{\omega_0 t}}{2\omega_0}$

כאשר:

$A_1=y(0)$ ו- $A_2=\frac{y'(0)}{\omega_0}$ הם קבועים חופשיים.

רצוי מאוד שתשתמשו בדרך המלאה הזו, ולא בדרך הקצרה יותר שלמדנו היום. --Michael 22:53, 6 בדצמבר 2011 (IST)

בתרגול היום דיברנו על מערכות הומוגניות עם מקדמים קבועים: הדבר הראשון שצריכים לעשות הוא למצוא ע"ע.

למקרה שתתקלו במד"ר בספרות, כדאי שתדעו את השמות של המקרים שנתקלנו בהם.

המקרה הראשון היה ע"ע פשוט ממשי - simple real eigenvalue

המקרה השני היה זוג ע"ע מרוכבים פשוטים - simple complex conjugate pair eigenvalues

המקרה השלישי היה ע"ע מריבוי אלגברי גבוה m שבכל זאת (למזלנו) ניתן למצוא לו m וקטורים עצמיים. לע"ע שכזה קוראים ע"ע שלם - complete eigenvalue

והמקרה הכי פחות קל, ע"ע מריבוי גבוה m שיש לו פחות מ-m ו"ע. ע"ע כזה נקרא ע"ע דפקטיבי - defective eigenvalue

פתרון יותר מפורט של המקרה האחרון:

רצינו לפתור את המד"ר $\vec{y}=A \vec{y}$ , כאשר $A=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

ל-A יש רק ע"ע אחד $\lambda=2$ . נחפש ו"ע $\vec{v}=\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}$ :

$A \vec{v}=\lambda \vec{v}$

$A \vec{v}=2 \vec{v}$

$(2I-A)\vec{v}=0$

$\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \vec{v}=0$

מקבלים את התנאי $b=0$ וניתן לקחת $a=0$ ולקבל ו"ע $\vec{v}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$ ולכן את הפתרון הקלאסי :

$\vec{v} e^{\lambda t}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} e^{2t}$

נראה שאין תקווה כי אי אפשר לבנות עוד פתרון כזה. אבל צריכים לחפש פתרון מהצורה $\vec{y}=e^{2t} \left( \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}t+ \begin{pmatrix} c\\d \end{pmatrix} \right)$ .

מצד אחד:

$\vec{y}'=\left[e^{2t} \begin{pmatrix} at+c\\bt+d \end{pmatrix}\right] '=2e^{2t}\begin{pmatrix} at+c\\bt+d \end{pmatrix}+e^{2t}\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}=e^{2t}\begin{pmatrix} 2at+2c+a\\2bt+2d+b \end{pmatrix}$

ומצד שני:

$A \vec{y}=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0&2 \end{pmatrix}\left[ e^{2t} \begin{pmatrix} at+c\\bt+d \end{pmatrix}\right]=e^{2t} \begin{pmatrix} 2at+2c+bt+d\\ 2bt+2d\end{pmatrix}$

כדי לקבל שוויון ביניהם, נצטרך:

$a=d$

$b=0$

( $c$ נשאר חופשי)

נציב זאת בניחוש ונקבל:

$\vec{y}=e^{2t} \left( \begin{pmatrix} a\\0 \end{pmatrix}t+\begin{pmatrix} c\\a \end{pmatrix}\right)=e^{2t} \begin{pmatrix} at+c\\a \end{pmatrix}=a \begin{pmatrix} t\\1 \end{pmatrix} e^{2t}+c \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} e^{2t}=c_1 \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} e^{2t}+c_2 \begin{pmatrix} t\\1 \end{pmatrix} e^{2t}$

בתרגול לקחתי c=0 ו-a=1 ובניתי פתרון נוסף שבכל מקרה הצטרף לפתרון הראשוני. סליחה על הבלבול.

--Michael 21:50, 22 בדצמבר 2011 (IST)

למרות שראיתם בהרצאה דוגמה לפתרון מערכת לא הומוגנית אני חושב שכדאי שאפתור עוד אחת כאן. נניח שרוצים לפתור את:

$\vec{y}'=\underbrace{\begin{pmatrix} 4 & -3\\8 & -6 \end{pmatrix}}_{A(t)} \vec{y}+\underbrace{\begin{pmatrix} t\\ e^t \end{pmatrix}}_{\vec{b}(t)}$

הדבר הראשון שצריכים לעשות הוא למצוא מטריצה יסודית כלשהי, בתרגול ראינו למשל את המטריצה:

$Y(t)=\begin{pmatrix} 3 & e^{-2t}\\4 & 2e^{-2t} \end{pmatrix}$

השלב הבא הוא לחשב את המטריצה ההופכית, המחשב נתן לי:

$Y^{-1}(t)=\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2}\\ -2e^{2t} & \frac{3e^{2t}}{2} \end{pmatrix}$

נחשב עכשיו את $Y^{-1}(t) \vec{b}(t)$ :

$Y^{-1}(t) \vec{b}(t)=\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2}\\ -2e^{2t} & \frac{3e^{2t}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t\\ e^t \end{pmatrix}=\left( \begin{array}{c} t-\frac{e^t}{2} \\ \frac{3 e^{3 t}}{2}-2 e^{2 t} t \end{array} \right)$

ניקח אינטגרל (אינטגרל של וקטור עושים רכיב-רכיב):

$\int{Y^{-1}(t) \vec{b}(t) dt}=\left( \begin{array}{c} \frac{t^2}{2}-\frac{e^t}{2}+k_1 \\ -e^{2 t} t+\frac{e^{2 t}}{2}+\frac{e^{3 t}}{2}+k_2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} \frac{t^2}{2}-\frac{e^t}{2} \\ -e^{2 t} t+\frac{e^{2 t}}{2}+\frac{e^{3 t}}{2} \end{array} \right)+\begin{pmatrix} k_1\\k_2 \end{pmatrix}$

כל מה שנותר לעשות הוא להכפיל במטריצה יסודית:

$Y(t)( \int{Y^{-1}(t) \vec{b}(t) dt}+\vec{k})= \left( \begin{array}{c} \frac{3 t^2}{2}-t-e^t+\frac{1}{2} \\ 2 t^2-2 t-e^t+1 \end{array} \right)+k_1 \begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix}+k_2 \begin{pmatrix} e^{-2t}\\2e^{-2t} \end{pmatrix}$

זהו בדיוק הפתרון הכללי של המערכת $(\vec{y})$ . אם היה נתון תנאי התחלה היינו צריכים למצוא את הקבועים החופשיים. --Michael 01:49, 27 בדצמבר 2011 (IST)

לגבי סוף התרגול היום: עסקנו במשוואה $4xy''+2y'+y=0$ . המשוואה האינדנציאלית נתנה לנו שני ערכים מותרים עבור $\alpha$ : $\alpha_{1,2}=0,\frac{1}{2}$ הגענו לפתרון אחד כאשר לקחנו $\alpha=0$ :

$y_1=a_0 \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n}{2n!} x^n}$ אמרנו שאם מדובר בתחום שבו x>0 ניתן לרשום אותו בצורה:

$y_1=a_0 \cos{\sqrt{x}}$ נגיע עכשי לפתרון השני, ניקח הפעם את $\alpha=\frac{1}{2}$ . הרקורסיה שלנו היא

$a_{n+1}=\frac{-a_n}{2(n+\frac{3}{2})(2n+2)}=\frac{-a_n}{(2n+2)(2n+3)}$

נמצא קצת מהמקדמים:

$a_1=\frac{-a_0}{2*3}$

$a_2=\frac{-a_1}{4*3}=\frac{a_0}{5*4*3*2}$

$a_3=\frac{-a_2}{7*6}=\frac{-a_0}{7!}$

כבר ניתן לנחש:

$a_n=\frac{a_0 (-1)^n}{(2n+1)!}$

אם כך, נקבל פתרון שני:

$y_2=x^\alpha \sum_{n=0}^\infty {a_n x^n}=x^\frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty {\frac{a_0 (-1)^n}{(2n+1)!} x^n}=\sum_{n=0}^\infty {\frac{a_0 (-1)^n}{(2n+1)!} x^{n+\frac{1}{2}}}$