הבדלים בין גרסאות בדף "88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/תרגילים/תרגיל 3"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף עם התוכן "==1== ===א=== חשב את אורך העקום של הפונקציה <math>f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}</math> בקטע <math>[a,b]</math> ===ב=== תהי f גזיר...")
 
(←‏2)
 
(4 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
 
==1==
 
==1==
 
===א===
 
===א===
−
חשב את אורך העקום של הפונקציה <math>f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}</math> בקטע <math>[a,b]</math>
+
חשב את [[אורך עקומה|אורך העקום]] של הפונקציה <math>f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}</math> בקטע <math>[a,b]</math>
  
 
===ב===
 
===ב===
−
תהי f גזירה על כל הממשיים. הוכח שלכל M>0  קיים קטע <math>[a,b]</math> כך שאורך העקומה של הפונקציה בקטע זה גדול מ-M.
+
תהי f גזירה ברציפות על כל הממשיים. הוכח שלכל M>0  קיים קטע <math>[a,b]</math> כך ש[[אורך עקומה|אורך העקומה]] של הפונקציה בקטע זה גדול מ-M.
  
 
==2==
 
==2==
שורה 10: שורה 10:
 
תהי f רציפה ב<math>[a,b]</math> הוכח כי
 
תהי f רציפה ב<math>[a,b]</math> הוכח כי
  
−
::<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\int_a^b|f(x)|^{\frac{1}{n}}=\max_{x\in [a,b]}|f(x)|</math>
+
::<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\Big[\int_a^b|f(x)|^ndx\Big]^{\frac{1}{n}}=\max_{x\in [a,b]}|f(x)|</math>
  
 
==3==
 
==3==
שורה 25: שורה 25:
 
==4==
 
==4==
 
הוכח כי למשוואה <math>\int_0^xe^{-t^2}dt=x</math> יש פתרון אחד ויחיד. מהו?
 
הוכח כי למשוואה <math>\int_0^xe^{-t^2}dt=x</math> יש פתרון אחד ויחיד. מהו?
 +
 +
==5==
 +
נניח f פונקציה רציפה, אי שלילית כך שלכל שתי נקודות בקטע <math>x,y\in [0,2]</math> ולכל <math>t\in [0,1]</math> מתקיים
 +
 +
::<math>f\Big(tx+(1-t)y\Big)\geq tf(x)+(1-t)f(y)</math>
 +
 +
נניח בנוסף כי <math>f(1)=1</math> הוכח כי
 +
::<math>\int_0^2f(t)dt\geq 1</math>

גרסה אחרונה מ־20:29, 28 באפריל 2012

תוכן עניינים

1

א

חשב את אורך העקום של הפונקציה f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2} בקטע [a,b]

ב

תהי f גזירה ברציפות על כל הממשיים. הוכח שלכל M>0 קיים קטע [a,b] כך שאורך העקומה של הפונקציה בקטע זה גדול מ-M.

2

תהי f רציפה ב[a,b] הוכח כי

\lim_{n\rightarrow\infty}\Big[\int_a^b|f(x)|^ndx\Big]^{\frac{1}{n}}=\max_{x\in [a,b]}|f(x)|

3

תהי f רציפה. לכל אפסילון גדול מאפס נגדיר את הפונקציה

g_\epsilon(x)=\frac{1}{2\epsilon}\int_{-\epsilon}^{\epsilon}f(x+t)dt

א

הוכח כי g_\epsilon(x) גזירה

ב

הוכח כי לכל x מתקיים \lim_{\epsilon\rightarrow 0^+}g_\epsilon(x)=f(x)

4

הוכח כי למשוואה \int_0^xe^{-t^2}dt=x יש פתרון אחד ויחיד. מהו?

5

נניח f פונקציה רציפה, אי שלילית כך שלכל שתי נקודות בקטע x,y\in [0,2] ולכל t\in [0,1] מתקיים

f\Big(tx+(1-t)y\Big)\geq tf(x)+(1-t)f(y)

נניח בנוסף כי f(1)=1 הוכח כי

\int_0^2f(t)dt\geq 1
מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-133_אינפי_2_תשעב_סמסטר_ב/תרגילים/תרגיל_3&oldid=22113