אורך עקומה

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
קירוב אורך גרף.png

תהי f פונקציה גזירה ברציפות בקטע סגור [a,b] . נקרב את אורך העקומה שלה (אורך הקו שלה בגרף) על-ידי גבול סכום המיתרים בין נקודות הפונקציה על חלוקות (סכום הקווים הכחולים בציור).

עבור חלוקת הקטע P=\{x_0,\ldots,x_n\} , הנוסחא לסכום המיתרים נתונה על-ידי:

\begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+\big(f(x_k)-f(x_{k-1})\big)^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\cdot(x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)^2}\cdot\Delta x_k\end{align}

כאשר הנקודות c_k מקיימות \forall k:c_k\in(x_{k-1},x_k) . אכן קיימות נקודות כאלה לפי משפט לגראנז'.

הגענו לסכום רימאן עבור הפונקציה \sqrt{1+f'(x)^2} . כיון שנתון כי f'(x) רציפה, גם \sqrt{1+f'(x)^2} רציפה בקטע הסגור ולכן אינטגרבילית.

על כן סכומי רימאן אלה שואפים לאינטגרל \displaystyle\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx וזוהי הנוסחא לחישוב אורך עקום של פונקציה.