חזרה ל[[מערכי תרגול באנליזה מתקדמת למורים | מערכי תרגול]].
==הגדרהפונקציות==ראיתם כמה דוגמאות לפונקציות <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math>, כמו למשל <math>f(z)=Re(z)</math> וכדו'. הרבה פעמים, כדי להבין פנקציות מהצורה <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> צריך להבין מה עושה פונקציה <math>f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}</math>. פנקציה כזו מקבלת שני ממשיים ומוציאה ממשי אחד.
לדוג': <math>f(x,y)=\sin(x+y)-x</math> ועוד כהנה וכהנה.
==רציפות==
הגדרת רציפות של פונקציה מרוכבת: הפונקציה <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> רציפה ב<math>z_0</math> אם לכל סדרה <math>z_n\to z_0</math> מתקיים: <math>|f(z_n)-f(z_0)|\to 0</math>. פונקציה נקראת רציפה אם היא רציפה בכל נקודה.
====תרגיל====
הוכיחו שהפונקציה <math>f(z)=\overline{z}</math> היא רציפה.
=====פתרון=====
לפי הגדרה: תהי <math>z_n\to z</math>, צריך להראות ש- <math>|f(z_n)-f(z)|\to 0</math>. ואכן: <math>|f(z_n)-f(z)|=|\overline{z_n}-\overline{z}|=|\overline{z_n-z}|=|z_n-z|\to 0</math>, כאשר השאיפה בסוף נובעת מהנתון על הסדרה.
===משפטים===
כרגיל, לא תמיד משתמשים בהגדרה, אלא במשפטים. המשפטים הרגילים: חיבור, כפל, הרכבה וחילוק כשמותר (כלומר, כשהמכנה לא אפס) של פונקציות רציפות זו פונקציה רציפה. לכן כל הפולינומים רציפים, וכנ"ל מנת פולינומים (מה שנקרא פונקציה רציונאלית) כשהמכנה לא 0.
משפט חשוב: <math>f(a+bi)=U(a,b)+iV(a,b)</math> רציפה אם ורק אם <math>U,V</math> רציפות.
לכן, חשוב להבין רציפות של פונקציות בשתי משתנים.
===רציפות של פונקציות בשני משתנים===
====תרגיל====
האם הפונקציות הבאות רציפות:
האם הפונקציה הבאה רציפה בראשית הצירים: 1. <math>f(x,yz)=\beginfrac{cases}z+2\fracoverline{\sin xz}}{y} & yz\neq0\\1 & y=0\endoverline{casesz}+2}</math>
אם לא, האם ניתן להגדיר אחרת ב2. <math>f(0,0z)</math> כדי שכן תהיה רציפה שם?=====פתרון=====לא ולא! על מנת להראות שהפונקציה לא רציפה מספיק למצוא זוג אחד של סדרות <math>x_{n}\to 0,y_{n}\to 0</math> עבורן לא מתקיים: <math>|fIm(x_{n},y_{n}z)-fRe(0,0z)|\to 0i</math>. וזה מה שנעשה כאן:
אם נקבע את סדרת האיקסים להיות תמיד אפס, כלומר, <math>x_{n}=0</math>, וניקח למשל <math>y_{n}=\frac{1}{n}</math>, אז נקבל סדרת אפסים (כי המונה תמיד אפס), ולכן הגבול גם הוא אפס (הסדרה היא 3. <math>f(x_{n},y_{n}z)=\frac{\sin0z^2-2z+1}{\frac{z^2+1}{n}}=0</math>). כיון שהגבול שונה מערך הפונקציה ב<math>(0,0)</math> נובע שהפונקציה לא רציפה.
הערה חשובה: לא ניתן "לתקן" ע"י לקבוע 4. <math>f(0,0)=0</math> כי אם ניקח את הסדרות <math>x_{n}=y_{n}=\frac{1}{n}</math> נקבל <math>f(x_{n},y_{n}x+yi)=\frac{\sin\frac{1x}{nx}}{-\frac{1\cos x}{nx}}\to 1i</math> לפי הידוע משנה שעברה, וכיון שיש שני גבולות שונים נובע שאין דרך "לתקן".
5. <math>f(x+yi)====תרגיל====e^x(\sin y+i\tan y)</math>
האם הפונקציה 6. <math>f(x+yi)=\frac{\sin(xy)}{|y|+5}-x\text{cis}y</math> ===תרגיל===הוכיחו שהפונקציה הבאה לא רציפה בראשית הצירים: <math>f(x,yz)=\begin{cases}\frac{\sin(x\cdot y)z}{x\overline{z}} & xz\neq0\\0 1 & xz=0
\end{cases}</math>
=====פתרון=====
אכן כן. נלך לפי הגדרה: צריך להראות שלכל שתי סדרות <math>x_{n},y_{n}</math> מתקיים: <math>|f(x_{n},y_{n})-f(0,0)|\to 0</math>. נראה זאת:
<math>|f(x_{n},y_{n})-f(0,0)|=|\frac{\sin(x_{n}y_{n})}{x_{n}}|=\frac{|\sin(x_{n}y_{n})|}{|x_{n}|}</math>. עכשיו נשתמש ברמז שכתוב: תמיד מתקיים <math>|\sin x|\leq|x|</math>, ולכן אצלנו נקבל <math>|\sin(xy)|\leq|xy|</math> ונוכל להמשיך:
<math>\frac{|\sin(x_{n}y_{n})|}{|x_{n}|}\leq\frac{|x_{n}y_{n}|}{|x_{n}|}=\frac{|x_{n}|\cdot|y_{n}|}{|x_{n}|}=|y_{n}|\to 0</math>
===רציפות של פונקציות מרוכבות===
====תרגיל====
האם הפונקציות הבאות רציפות בנקודות הנדרשות:
1.<math>f(z)=\frac{z^2-2z+1}{z^2+1}</math> בכל <math>\mathbb{C}\smallsetminus \{i,-i\}</math>.
2. <math>f(z)=\begin{cases} \frac{3z+\overline{z}}{2z-\overline{z}} & z\neq 0 \\ \frac{2}{10} & z=0 \end{cases}</math> ב<math>z=0</math>.
=====פתרון=====
1. כן, פונקציה רציונאלית רציפה כאשר המכנה לא מתאפס.
2. לא! נקבל:
<math>f(a+bi)=\frac{3a+3bi+a-bi}{2a+2bi-a+bi}=\dots =\frac{4a^2+6b^2}{9b^2+a^2}-\frac{6ab}{9b^2+a^2}i</math>.
כעת, "קל לראות" שהפונקציה שתמונתה החלק המדומה לא רציפה. ניקח סדרות <math>a_n=b_n,a_n=-b_n</math>.