אנליזה מתקדמת למורים תרגול 4

תוכן עניינים

1 פונקציות
2 רציפות

פונקציות

ראיתם כמה דוגמאות לפונקציות $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ , כמו למשל $f(z)=Re(z)$ וכדו'.

הרבה פעמים, כדי להבין פנקציות מהצורה $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ צריך להבין מה עושה פונקציה $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ . פנקציה כזו מקבלת שני ממשיים ומוציאה ממשי אחד.

לדוג': $f(x,y)=\sin(x+y)-x$ ועוד כהנה וכהנה.

במרוכבים זה יופיע כשתי פונקציות כאלה. למשל, נניח שיש לנו את הפונקציה $f(a+bi)=2ab-ba^2i$ , זה בעצם חיבור של שתי הפונקציות הבאות: $U(a,b)=2ab,V(a,b)=-ba^2$ ואז נקבל: $f(a+bi)=U(a,b)+V(a,b)i$ .

רציפות

הגדרת רציפות של פונקציה מרוכבת: הפונקציה $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ רציפה ב $z_0$ אם לכל סדרה $z_n\to z_0$ מתקיים: $|f(z_n)-f(z_0)|\to 0$ . פונקציה נקראת רציפה אם היא רציפה בכל נקודה.

תרגיל

הוכיחו שהפונקציה $f(z)=\overline{z}$ היא רציפה.

פתרון

לפי הגדרה: תהי $z_n\to z$ , צריך להראות ש- $|f(z_n)-f(z)|\to 0$ . ואכן: $|f(z_n)-f(z)|=|\overline{z_n}-\overline{z}|=|\overline{z_n-z}|=|z_n-z|\to 0$ , כאשר השאיפה בסוף נובעת מהנתון על הסדרה.

משפטים

כרגיל, לא תמיד משתמשים בהגדרה, אלא במשפטים. המשפטים הרגילים: חיבור, כפל, הרכבה וחילוק כשמותר (כלומר, כשהמכנה לא אפס) של פונקציות רציפות זו פונקציה רציפה. לכן כל הפולינומים רציפים, וכנ"ל מנת פולינומים (מה שנקרא פונקציה רציונאלית) כשהמכנה לא 0.

משפט חשוב: $f(a+bi)=U(a,b)+iV(a,b)$ רציפה אם ורק אם $U,V$ רציפות.

רציפות של פונקציות בשני משתנים

פונקציה $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ רציפה בנק' $(x_0,y_0)$ אם לכל זוג סדרות $x_n\to x_0,y_n\to y_0$ מתקיים: $|f(x_n,y_n)-f(x_0,y_0)|\to 0$ . כדי להראות שהפונקציה לא רציפה מספיק למצוא זוג אחד של סדרות שלא מקיימות את התנאי.