הבדלים בין גרסאות בדף "88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעד הוכחות למשפטים למבחן"
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) (←הוכחה) |
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) מ (←משפט) |
||
שורה 143: | שורה 143: | ||
כלומר לכל אפסילון קיימת חלוקה כך שההפרש בין הסכומים העליוניים לתחתוניים קטן מאפסילון. | כלומר לכל אפסילון קיימת חלוקה כך שההפרש בין הסכומים העליוניים לתחתוניים קטן מאפסילון. | ||
+ | |||
+ | (הרצאה 21) | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== |
גרסה מ־20:46, 31 בינואר 2014
תוכן עניינים
- 1 משפט קנטור על רציפות במ"ש
- 2 היחס בין הדיפרנציאל לנגזרות החלקיות
- 3 מהגדרה של דיפרנציאל מסדר r לנוסחה עם נגזרות חלקיות
- 4 תנאי מספיק לדיפרנציאביליות לפי רציפות נגזרות חלקיות
- 5 תנאי מספיק לקיצון מקומי עפ"י הדיפרנציאל השני
- 6 משפט פונקציה סתומה - משוואה אחת
- 7 משפט פונקציה סתומה - מקרה כללי
- 8 תנאי הכרחי לקיצון עם אילוצים
- 9 קריטריון רימן לאינטגרביליות
משפט קנטור על רציפות במ"ש
המשפט
תהי כך ש-
קבוצה קומפקטית ו-
רציפה ב-
, אזי f רציפה במ"ש ב-K. (הרצאה 6)
הוכחה
נניח בשלילה ש-f לא רבמ"ש ב-K. אז מתקיים ש-
.
זה מתקיים לכל דלתא, אז נגדיר סדרה של דלתות באופן הבא: , ולכל
נסמן את
בהתאם:
.
לכן לכל k מתקיים:
כיוון שכל הנקודות ב-K, שהיא קבוצה קומפקטית, מתקיימת למת בולצאנו ווירשטראס. כלומר קיימת תת סדרה
שמתכנסת לנקודה
שגם היא ב-K (כיוון ש-K סגורה).
נשים לב ש- . מתוך הנתון ש- f רציפה ב-
נקבל ש-
אך אם כך,
בסתירה לכך שקיים אפסילון כך ש-
. משל
היחס בין הדיפרנציאל לנגזרות החלקיות
צריך לדעת את 3 הדברים שבחלק זה (המשפטים בהרצאה 7 והדוגמה לקוחה מהתרגול)
משפט 1
תהי כך ש-
ותהי
כך ש- f דיפ' ב-a. אזי לכל
קיימת נגזרת חלקית
והיא שווה ל-
(הערה: משפט זה הוא מקרה פרטי למשפט שהוכחנו בהמשך באופן דומה. המשפט אומר ש- כך ש-
זוהי הנגזרת הכיוונית לפי וקטור h.)
הוכחה 1
כך ש-
.
לכן,
כיוון ש- והדיפרנציאל הוא אופרטור לינארי, מקבלים ש-
נשים לב שהגורם האחרון שואף ל-0 כש- t שואף ל-0, ולכן נקבל:
אך אגף שמאל, עפ"י הגדרה, זה
וקיבלנו את מה שרצינו.
משפט 2
תהי כך ש-
ותהי
כך ש- f דיפ' ב-a, אזי מתקיים:
הוכחה 2
יהי אז
. מתוך העובדה שהדיפרנציאל הוא אופרטור לינארי וממשפט 1,
דוגמה בה כל הנגזרות החלקיות קיימות אבל הפונקציה לא דיפרנציאבילית
הפונקציה אפילו לא רציפה ב-0! (ניקח מסלולים y=kx ונקבל גבולות שונים)
אך הנגזרות החלקיות קיימות:
ובאופן דומה לנגזרת החלקית לפי y
מהגדרה של דיפרנציאל מסדר r לנוסחה עם נגזרות חלקיות
הגדרה
תהי כך ש- U קבוצה פתוחה ומוכלת ב-
.
יהי . נגדיר
, אז מתקיים ש-
גזירה r פעמים ב-0.
לכן ניתן להגדיר:
משפט
(הרצאה 12)
כך ש-
מולטי אינדקס
תנאי מספיק לדיפרנציאביליות לפי רציפות נגזרות חלקיות
המשפט
תהי ותהי נקודה
נניח ש-
1. עבור דלתא מספר קטן קיימות
2. כל הנגזרות החלקיות רציפות בכדור הזה.
אזי f דיפ' ב-a. (הרצאה 9)
תנאי מספיק לקיצון מקומי עפ"י הדיפרנציאל השני
המשפט
תהי כך ש-U קבוצה פתוחה שמוכלת ב-
ו-
.
תהי נק' קריטית של f (כלומר
) אזי:
1. אם אז a מינימום מקומית ממש
2. אם אז a מקסימום מקומית ממש
3. אם לא שומרת סימן אז a לא קיצון.
(הרצאה 15)
משפט פונקציה סתומה - משוואה אחת
משפט
תהי קבוצה פתוחה ותהי
כך ש-
נתונה הנקודה כך ש-
1.
2. (כאשר y זה המשתנה ה- n+1)
אזי קיימות סביבות כך ש-
.
כלומר קיימת פונקציה כך ש-
. בנוסף
(הרצאה 16)
משפט פונקציה סתומה - מקרה כללי
משפט
תנאי הכרחי לקיצון עם אילוצים
משפט
קריטריון רימן לאינטגרביליות
משפט
תהי כך ש-
, אזי
(אינטגרבילית לפי רימן) אם ורק אם
כלומר לכל אפסילון קיימת חלוקה כך שההפרש בין הסכומים העליוניים לתחתוניים קטן מאפסילון.
(הרצאה 21)
הוכחה
משמאל לימין:
יהי אזי קיימת חלוקה
כך ש-
. כלומר
ומכאן ש-
אז ולכן
לכל אפסילון גדול מ-0. לכן
ואז
. אז
מימין לשמאל:
נניח אז
יהי אפסילון גדול מ-0
אז
לכן קיימות חלוקות כך ש-
נגדיר (לא מצאתי דרך לבטא את החיתוך עם העיגול מעל. זה הכוונה פה)
משל