הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/22.5.11"
מ (←פתרון) |
|||
שורה 38: | שורה 38: | ||
====פתרון==== | ====פתרון==== | ||
נציב <math>y=x^2</math> ואז <math>\int\limits_0^1 f_n=\frac n2\int\limits_0^1e^{-ny}\mathrm dy=\frac n2\left[\frac{e^{-ny}}{-n}\right]_{y=0}^1=-\frac12e^{-n}+\frac12\to\frac12</math>, כלומר <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n</math> אכן מתכנס. נותר לבדוק אם <math>\{f_n\}</math> מתכנסת במ"ש: | נציב <math>y=x^2</math> ואז <math>\int\limits_0^1 f_n=\frac n2\int\limits_0^1e^{-ny}\mathrm dy=\frac n2\left[\frac{e^{-ny}}{-n}\right]_{y=0}^1=-\frac12e^{-n}+\frac12\to\frac12</math>, כלומר <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n</math> אכן מתכנס. נותר לבדוק אם <math>\{f_n\}</math> מתכנסת במ"ש: | ||
+ | |||
''דרך 1:'' <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{nx}{e^{nx^2}}=0</math> (השיוויון האחרון לפי לופיטל). נניח בשלילה שההתכנסות במ"ש, אבל <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 nxe^{-nx^2}\mathrm dx=\frac12\ne 0=\int\limits_0^1 f</math> ולכן קיבלנו סתירה. לפיכך ההתכנסות אינה במ"ש. {{משל}} | ''דרך 1:'' <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{nx}{e^{nx^2}}=0</math> (השיוויון האחרון לפי לופיטל). נניח בשלילה שההתכנסות במ"ש, אבל <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 nxe^{-nx^2}\mathrm dx=\frac12\ne 0=\int\limits_0^1 f</math> ולכן קיבלנו סתירה. לפיכך ההתכנסות אינה במ"ש. {{משל}} | ||
''דרך 2:'' הראנו כבר כי פונקצית הגבול היא 0. נחפש מקסימום ל-<math>f_n(x)</math>: <math>0=f_n'(x)=-2n^2x^2e^{-nx^2}+ne^{-nx^2}=ne^{-nx^2}(-2x^2n+1)</math> ונקבל <math>x=\frac1\sqrt{2n}</math>. לכן <math>\sup\left|f_n(x)-f(x)\right|=\frac n\sqrt{2n}e^{-\frac n{2n}}-0=\sqrt\frac n2e^{-\frac 1{2}}\to\infty\ne0</math> ומכאן שההתכנסות אינה במ"ש. {{משל}} | ''דרך 2:'' הראנו כבר כי פונקצית הגבול היא 0. נחפש מקסימום ל-<math>f_n(x)</math>: <math>0=f_n'(x)=-2n^2x^2e^{-nx^2}+ne^{-nx^2}=ne^{-nx^2}(-2x^2n+1)</math> ונקבל <math>x=\frac1\sqrt{2n}</math>. לכן <math>\sup\left|f_n(x)-f(x)\right|=\frac n\sqrt{2n}e^{-\frac n{2n}}-0=\sqrt\frac n2e^{-\frac 1{2}}\to\infty\ne0</math> ומכאן שההתכנסות אינה במ"ש. {{משל}} |
גרסה אחרונה מ־14:14, 28 ביוני 2011
תוכן עניינים
התכנסות במ"ש (המשך)
משפט דיני
סדרת פונקציות רציפה המוגדרת בקטע ומתכנסת נקודתית בקטע זה לפונקציה רציפה f. בנוסף סדרה עולה לכל . אזי מתכנסת במ"ש ב-.
דוגמה 1
בדוק הכנסות עבור הסדרה בקטע
-
פתרון
נשים לב שעבור x בקטע . קל לראות גם שפונקצית הגבול היא , שרציפה. כמו כן ברור כי רציפות ובקטע מתקיים . לכן מתקיימים תנאי משפט דיני, ומכאן שההתכנסות במ"ש. -
פתרון
נשים לב שנתון קטע פתוח, לכן לא ניתן להשתמש בתנאי דיני. ברור לנו שפונקצית הגבול ומכיוון ש- ההתכנסות אינה במ"ש.
דוגמה 2
קבעו אם הטור מתכנס ב-.
פתרון
נשתמש בנוסחאת הסכום לטור הנדסי: . לכן יש התכנסות לפונקציה רציפה בקטע. ברור שאיברי הטור פונקציות רציפות ואי שליליות (ולכן מתקיימת מונוטוניות). לפי משפט דיני ההתכנסות במ"ש.
דוגמה 3
הוכח או הפרך: אם סדרת פונקציות המתכנסת במ"ש לפונקצית הגבול f וכן פונקציה רציפה אז היא סדרת פונקציות המתכנסות במ"ש לפונקצית הגבול .
פתרון
נשים לב כי g רציפה בקטע סגור ולכן רציפה במ"ש. כלומר לכל יש כך שאם אז . בנוסף נתון ש- מתכנסת במ"ש ולכן יש N כך שלכל מתקיים (בפרט אפשר לבחור ). נשים לב ש- מוגדרת היטב לכל ועבור מתקיים . מכאן ש- במ"ש.
מבחן ה-M של ווירשטראס
יהי טור פונקציות בקטע I. אם קיים טור מתכנס של מספרים חיוביים כך שלכל n גדול מספיק ולכל מתקיים אז מתכנס במ"ש ב-I.
דוגמה 4
הוכח כי מתכנס במ"ש ב-.
פתרון
נרשום את הטור כ- נסמן ונחסום אותה: ולכן , שהיא מקסימום כי . נותר לבדוק את קצוות הקטע: . נסיק ש- היא נקודת קיצון גלובלית וכן-. מתכנס (זהו טור הנדסי) ולכן, לפי מבחן ה-M של וירשטרס, הטור מתכנס במ"ש.
אינטגרציה איבר-איבר בסדרות
תהי סדרת פונקציות רציפות המתכנסות במ"ש לפונקציות f בקטע I. אזי f אינטגרבילית בקטע ומתקיים .
דוגמה 5
קבע האם מתכנס כאשר ב-, והאם במ"ש.
פתרון
נציב ואז , כלומר אכן מתכנס. נותר לבדוק אם מתכנסת במ"ש:
דרך 1: (השיוויון האחרון לפי לופיטל). נניח בשלילה שההתכנסות במ"ש, אבל ולכן קיבלנו סתירה. לפיכך ההתכנסות אינה במ"ש.
דרך 2: הראנו כבר כי פונקצית הגבול היא 0. נחפש מקסימום ל-: ונקבל . לכן ומכאן שההתכנסות אינה במ"ש.