הבדלים בין גרסאות בדף "אלגברה לינארית 1/מבחנים/פתרון מבחן דמה תשעא"
(←סעיף ב) |
(←סעיף ב) |
||
שורה 23: | שורה 23: | ||
נגדיר <math>V_1=\{w|Tw=w\},V_2=\{w|Tw=-w\}</math>. נובע בקלות מסעיף א כי <math>V_1+V_2=V</math>. אם נוכיח כי החיתוך בינהם הוא אפס, נקבל בקלות ממשפט המימדים כי <math>V_1\oplus V_2=V</math>. אז איחוד הבסיסים בינהם יהווה בסיס העונה על דרישות התרגיל. | נגדיר <math>V_1=\{w|Tw=w\},V_2=\{w|Tw=-w\}</math>. נובע בקלות מסעיף א כי <math>V_1+V_2=V</math>. אם נוכיח כי החיתוך בינהם הוא אפס, נקבל בקלות ממשפט המימדים כי <math>V_1\oplus V_2=V</math>. אז איחוד הבסיסים בינהם יהווה בסיס העונה על דרישות התרגיל. | ||
− | אבל אם וקטור w נמצא | + | אבל אם וקטור w נמצא בחיתוך הוא מקיים w=-w ולכן w=0. משל. |
=שאלה 4= | =שאלה 4= |
גרסה מ־13:39, 18 בספטמבר 2011
תוכן עניינים
שאלה 1
שאלה 2
התרגיל בסוף מערך תרגול 7
שאלה 3
סעיף א
נניח כי v ניתן להצגה בצורה הנ"ל, וכך נחשב את w1,w2. לאחר שנחשב אותם, נוכיח שהם אכן מקיימים את התכונות הדרושות.
, נפעיל את T על שני האגפים לקבל
אם כן קיבלנו 2 משוואות בשני נעלמים, ואנו מחלצים מתוכן:
אם כן, לכל נגדיר
. קל לוודא שאכן מתקיים
סעיף ב
נגדיר . נובע בקלות מסעיף א כי
. אם נוכיח כי החיתוך בינהם הוא אפס, נקבל בקלות ממשפט המימדים כי
. אז איחוד הבסיסים בינהם יהווה בסיס העונה על דרישות התרגיל.
אבל אם וקטור w נמצא בחיתוך הוא מקיים w=-w ולכן w=0. משל.
שאלה 4
סעיף א
הפרכה:
סעיף ב
נניח כי . נובע בקלות מהתרגיל שפתרנו במערך תרגול 2 כי A=0. כעת, נניח כי
נכפול במשוחלפת של B ונקבל
ואז שוב BA=0
סעיף ג
הוכחה:
נובע ממשפט המימדים כי לכן בלי הגבלת הכלליות ניתן להניח כי
. באופן דומה
ומכיוון ש
מתקיים לפי משפט המימדים כי
.
מכיוון שהסכום מכיל את כל החיתוכים האפשריים, זוג אחד מבינהם חייב להיות חיתוך לא אפס, ולכן הסכום אינו אפס.