הבדלים בין גרסאות בדף "שדות - תכונות בסיסיות"
(←איברים אלגבריים וטרנסצנדנטיים) |
(←הרחבות של שדות) |
||
שורה 12: | שורה 12: | ||
'''תכונה:''' אם <math>F</math> שדה אז כל חיתוך של תתי שדות של <math>F</math> הוא גם שדה. | '''תכונה:''' אם <math>F</math> שדה אז כל חיתוך של תתי שדות של <math>F</math> הוא גם שדה. | ||
− | '''הגדרה:''' נניח ש-<math>L</math> שדה ו-<math>F,K</math> תת שדות של <math>L</math>. הקומפוזיטום של <math>F,K</math> הוא תת השדה הקטן ביותר המכיל את <math>F,K</math>. הוא יסומן ב-<math> | + | '''הגדרה:''' נניח ש-<math>L</math> שדה ו-<math>F,K</math> תת שדות של <math>L</math>. הקומפוזיטום של <math>F,K</math> הוא תת השדה הקטן ביותר המכיל את <math>F,K</math>. הוא יסומן ב-<math>FK</math>. |
− | + | ||
− | + | ||
== איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים == | == איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים == |
גרסה מ־15:02, 24 בנובמבר 2011
הרחבות של שדות
הגדרה: יהיה שדה. הרחבה של
היא כינוי לכל שדה
המכיל את
. לרוב כותבים גם
. באופן טבעי
הוא מרחב וקטורי מעל
. המימד של
מעל
יסומן ב-
(הוא אינו חייב להיות סופי).
דוגמא: היא הרחבת שדות ממימד סופי.
היא הרחבת שדות ממימד אינסופי.
טענה: יהיו שדות. אזי
.
הרעיון של ההוכחה: אם הוא בסיס ל-
כמרחב וקטורי מעל
ו-
הוא בסיס ל-
כמרחב וקטורי מעל
אז הקבוצה
היא בסיס ל-
כמרחב וקטורי מעל
והיא בעלת
איברים (זה לא טריוויאלי).
תכונה: אם שדה אז כל חיתוך של תתי שדות של
הוא גם שדה.
הגדרה: נניח ש- שדה ו-
תת שדות של
. הקומפוזיטום של
הוא תת השדה הקטן ביותר המכיל את
. הוא יסומן ב-
.
איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים
הגדרה: תהי הרחבת שדות ו-
. האיבר
נקרא אלגברי מעל
אם קיים פולינום
כך ש-
. אם לא קיים פולינום כזה,
נקרא טרנסצנדנטי מעל
.
דוגמא: הוא אלגברי מעל
כי הוא מאפס את
. לעומת זאת, ניתן להוכיח כי המספרים
הם טרנסצנדנטיים מעל
.
הערה: לא קשה להראות כי כמות המספרים המרוכבים האלגבריים מעל היא בת מנייה. לכן, בהכרח קיימים ב-
(וגם ב-
) איברים טרנסצנדנטיים. (זו הוכחה לא קונסטרוקטיבית לכך שקיימים מספרים טרנצנדנטיים).
דוגמא: יהיה שדה ויהי
שדה השברים של
. קל לבדוק כי
טרנסצנדנטי מעל
. למעשה, כל איבר ב-
הוא טרנסצנדנטי.