שדות - תכונות בסיסיות

הרחבות של שדות

הגדרה: יהיה $F$ שדה. הרחבה של $F$ היא כינוי לכל שדה $K$ המכיל את $F$. לרוב כותבים גם $K/F$. באופן טבעי $K$ הוא מרחב וקטורי מעל $F$. המימד של $K$ מעל $F$ יסומן ב-$[K:F]$ (הוא אינו חייב להיות סופי).

דוגמא: $\mathbb{C}/\mathbb{R}$ היא הרחבת שדות ממימד סופי. $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ היא הרחבת שדות ממימד אינסופי.

טענה: יהיו $F\subseteq K\subseteq L$ שדות. אזי $[L:F]=[L:K]\cdot[K:F]$.

הרעיון של ההוכחה: אם $A$ הוא בסיס ל-$L$ כמרחב וקטורי מעל $K$ ו-$B$ הוא בסיס ל-$K$ כמרחב וקטורי מעל $F$ אז הקבוצה $\{ab~|~a\in A, b\in B\}$ היא בסיס ל-$L$ כמרחב וקטורי מעל $F$ והיא בעלת $[L:K][K:F]$ איברים (זה לא טריוויאלי).

תכונה: אם $F$ שדה אז כל חיתוך של תתי שדות של $F$ הוא גם שדה.

הגדרה: נניח ש-$L$ שדה ו-$F,K$ תת שדות של $L$. הקומפוזיטום של $F,K$ הוא תת השדה הקטן ביותר המכיל את $F,K$. הוא יסומן ב-$FK$.

איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים

הגדרה: תהי $K/F$ הרחבת שדות ו-$a\in K$. האיבר $a$ נקרא אלגברי מעל $F$ אם קיים פולינום $f(x)\neq 0$ כך ש-$f(a)=0$. אם לא קיים פולינום כזה, $a$ נקרא טרנסצנדנטי מעל $F$.

דוגמא: $\sqrt{2}$ הוא אלגברי מעל $\mathbb{Q}$ כי הוא מאפס את $x^2-2\in\mathbb{Q}$. לעומת זאת, ניתן להוכיח כי המספרים $e,\pi$ הם טרנסצנדנטיים מעל $\mathbb{Q}$.

הערה: לא קשה להראות כי כמות המספרים המרוכבים האלגבריים מעל $\mathbb{Q}$ היא בת מנייה. לכן, בהכרח קיימים ב-$\mathbb{C}$ (וגם ב-$\mathbb{R}$) איברים טרנסצנדנטיים. (זו הוכחה לא קונסטרוקטיבית לכך שקיימים מספרים טרנצנדנטיים).

דוגמא: יהיה $F$ שדה ויהי $F(t)$ שדה השברים של $F[t]$. קל לבדוק כי $t$ טרנסצנדנטי מעל $F$. למעשה, כל איבר ב-$F(t)\setminus F$ הוא טרנסצנדנטי.

הערה: אם $F\subseteq K\subseteq L$ שדות ו-$a\in L$ אלגברי מעל $F$ אז הוא גם אלגברי מעל $K$. (נובע ישירות ע"י שימוש בהגדרה מכך ש-$F[x]\subseteq K[x]$.)

הגדרה: הרחבת שדות $K/F$ נקראת אלגברית אם כל איבר ב-$K$ אלגברי מעל $F$.

סימון: תהי $K/F$ הרחבת שדות ו-$a\in K$. מסמנים $F[a]=\{f(a)~|~f\in F[x]\}$.

טענה: תהי $K/F$ הרחבת שדות ו-$a\in K$. אזי $a$ אלגברי מעל $F$ אם ורק אם המימד של $F[a]$ כמרחב וקטורי מעל $F$ סופי. במקרה זה $F[a]$ שדה.

הוכחה: כוון אחד: נניח ש-$\dim_FF[a]=n<\infty$. אזי הקבוצה $\{1,a,a^2,\ldots,a^n\}$ היא בגודל $n+1$ ולכן תלויה לינארית מעל $F$. לכן קיימים $\alpha_0,\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in F$, לא כולם 0, כך ש-$\alpha_0+\alpha_1a+\ldots+\alpha_na^n=0$. אם נגדיר $f(x)=\alpha_0+\alpha_1x+\ldots+\alpha_nx^n\in F[x]$ אז $f(x)\neq 0$ ובעצם הראינו $f(a)=0$. לכן $a$ אלגברי מעל $F$.

כוון שני: נניח שקיים $f(x)\neq 0$ כך ש-$f(a)=0$. נסמן $n=\deg f$. מספיק להראות ש-$\{1,a,a^2,\ldots,a^{n-1}\}$ קבוצה פורשת (מעל $F$) ל-$F[a]$. יהי $b\in F[a]$ אזי $b=g(a)$ עבור $g(x)\in F[x]$ כלשהו. קיימים פולינומים $q(x),r(x)\in F[x]$ כך ש-$g(x)=q(x)f(x)+r(x)$ וגם $\deg r<\deg f=n$. אזי $g(a)=q(a)f(a)+r(a)=r(a)$ ו-$r(a)\in\mathrm{span}\{1,a,\ldots,a^{n-1}\}$ כי $\deg r<n$.

כדי לראות שבמקרה זה $F[a]$ שדה, נשים לב ש-$F[a]$ הוא תחום שלמות ממימד סופי מעל $F$ ולכן סיימנו הודות לתרגיל הבא:

תרגיל: יהי $R$ תחום שלמות ו-$F\subseteq R$ שדה כך ש-$\dim_FR<\infty$. אזי $R$ שדה. [רמז: לכל $r\in R$ ההעתקה $x\mapsto rx$ היא העתקה לינארית חד חד ערכית (מדוע?).]

מסקנה: אם $K/F$ הרחבת שדות ממעלה סופית (כלומר $[K:F]<\infty$ היא הרחבה אלגברית.

תרגילים - כדי לראות שהבנתם עד עכשיו

תרגיל: תהי $L/F$ הרחבת שדות ו-$a_1,\ldots,a_n\in L$ אלגבריים מעל $F$. הראו כי $F[a_1,\ldots,a_n]$ שדה והמימד שלו מעל $F$ סופי. הראו כי זה תת השדה הקטן ביותר המכיל את $F$ ואת $a_1,\ldots,a_n$. (הערה: $F[a_1,\ldots,a_n]$ מוגדר באופן אינדוקטיבי ע"י $F[a_1,\ldots,a_n]=F[a_1,\ldots,a_{n-1}][a_n]$. קיימות גם הגדרות שקולות אחרות.)

תרגיל: תהי $L/F$ הרחבת שדות, $a_1,\ldots,a_n\in L$ אלגבריים מעל $F$ ו-$F\subseteq K\subseteq L$. הוכיחו כי הקומפוזיטום של $F[a_1,\ldots,a_n]$ ו-$K$ הוא $K[a_1,\ldots,a_n]$.

איברים אלגבריים - מבט מעמיק

טענת עזר: תהי $K/F$ הרחבת שדות ו-$a,b\in K$ אלגבריים. אזי $F[a,b]/F$ הרחבה אלגברית.

הוכחה: לפי טענה מקודם מספיק להראות ש-$[F[a,b]:F]<\infty$. מתקיים $[F[a,b]:F]=[F[a,b]:F[a]]\cdot [F[a]:F]$ ולכן מספיק להראות סופיות של כל אחד מהגורמים במכפלה. לפי אותה טענה $[F[a]:F]<\infty$ כי $a$ אלגברי מעל $F$. בנוסף, $b$ אלגברי מעל $F$ ולכן גם מעל $F[a]$. כעת, אותה טענה גם אומרת כי $[F[a,b]:F[a]]<\infty$ ולכן גמרנו.

מסקנה: אם $K/F$ הרחבת שדות ו-$a,b\in F$ אלגבריים מעל $F$, אז גם $ab,a+b$ אלגבריים מעל $F$.

תרגיל: בהנחות של המסקנה, אם $a\neq 0$ אז גם $a^{-1}$ אלגברי.

מסקנה: תהי $K/F$ הרחבת שדות. נסמן ב-$A$ את כל האיברים ב-$K$ שאלגבריים מעל $F$. אזי $A$ שדה. למעשה, $A$ הוא תת השדה הגדול ביותר של $K$ שאלגברי מעל $F$.

דוגמא: לפי מה שעכשיו הראינו, אוסף האיברים האלגבריים מעל $\mathbb{Q}$ ב-$\mathbb{C}$ הוא שדה. (למעשה, זה הסגור האלגברי של $\mathbb{Q}$.)

דוגמא: יהי $F$ שדה ויהי $K=F(t)$ (שדה השברים של $F[t]$ = שדה הפונקציות הרציונליות במשתנה $t$). אזי האיברים האלגבריים מעל $K$ הם רק השדה $F$.

טענה: יהיו $F\subseteq K\subseteq L$ שדות כך ש-$K/F$ הרחבה אלגברית. אזי איבר $a\in L$ הוא אלגברי מעל $K$ אם ורק אם הוא אלגברי הוא אלגברי מעל $F$.

הוכחה: כוון אחד ברור מאליו -- אם $a$ אלגברי מעל $F$ אז הוא גם אלגברי מעל $K$. הכוון השני לא טריוויאלי. נניח ש-$a$ אלגברי מעל $K$ אזי קיים פולינום $0\neq f(x)\in K[x]$ כך ש-$f(a)=0$. יהיו $b_0,b_1,b_2,\ldots,b_n\in K$ מקדמי הפולינום $f$. היות ו-$K/F$ הרחבה אלגברית, אז כל האיברים $b_0,b_1,\ldots,b_n$ אלגבריים מעל $F$. לכן, לפי תרגיל מקודם, $K_0=F[b_0,\ldots,b_n]$ הוא שדה ממימד סופי מעל $F$. בנוסף, $f(x)\in K_0[x]$ ולכן $a$ אלגברי מעל $K_0$. לפי טענה ממקודם, זה אומר ש-$[K_0[a]:K_0]<\infty$. לכן $[K_0[a]:F]=[K_0[a]:K_0]\cdot [K_0:F]<\infty$. לפי מסקנה מקודם, זה אומר שההרחבה $K_0[a]/F$ אלגברית ולכן $a$ אלגברי מעל $F$.

הערה: בהוכחה היינו צריכים להגדיר את $K_0$ כי לא היה נתון ש-$[K:F]<\infty$.

מסקנה: תהי $K/F$ הרחבת שדות ויהי $A$ שדה האיברים ב-$K$ שאלגבריים מעל $F$. יהי $A'$ שדה האיברים ב-$K$ שאלגבריים מעל $A$. אזי $A=A'$.

שדות סגורים אלגברית

הגדרה: שדה $F$ נקרא סגור אלגברית אם לכל $f(x)\in F[x]$ ממעלה 1 או יותר קיים $a\in F$ כך ש-$f(a)=0$. (כלומר, לכל פולינום ממעלה 1 או יותר מעל $F$ יש שורש ב-$F$.)

טענה: יהי $F$ שדה. אזי התנאים הבאים שקולים:

• $F$ סגור אלגברית
• ל-$F$ אין אף הרחבה אלגברית חוץ מ-$F/F$ (ההרחבה הטריוויאלית).
• כל פולינום ממעלה 1 או יותר מעל $F$ מתפרק לגורמים לינאריים.

הוכחה: תרגיל.

דוגמא: המשפט היסודי של האלגברה אומר ששדה המספרים המרוכבים, $\mathbb{C}$, הוא סגור אלגברית.

משפט: לכל $F$ קיים שדה $K\supseteq F$ כך ש-$K/F$ הרחבה אלגברית ו-$K$ סגור אלגברית. השדה $K$ יחיד עד כדי איזומורפיזם של שדות.

סימון: את השדה $K$ מהמשפט האחרון נהוג לסמן ב-$\overline{F}$. שדה זה נקרא הסגור האלגברי של $F$.

עוד תרגילים

תרגיל: תהי $K/F$ הרחבת שדות ונניח ש-$K$ סגור אלגברית. יהי $A$ שדה האיברים האלגבריים מעל $F$ ב-$K$. הוכיחו כי $A$ הוא הסגור האלגברי של $F$.

תרגיל: האם $\mathbb{R}$ סגור אלגברית? מדוע?

תרגיל: יהי $F$ שדה אינסופי. הוכיחו שהעוצמה של $\overline{F}$ שווה לעוצמה של $F$.