הבדלים בין גרסאות בדף "שדות - תכונות בסיסיות"
(←הרחבות של שדות) |
(←איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים) |
||
שורה 24: | שורה 24: | ||
'''דוגמא:''' יהיה <math>F</math> שדה ויהי <math>F(t)</math> שדה השברים של <math>F[t]</math>. קל לבדוק כי <math>t</math> טרנסצנדנטי מעל <math>F</math>. למעשה, כל איבר ב-<math>F(t)\setminus F</math> הוא טרנסצנדנטי. | '''דוגמא:''' יהיה <math>F</math> שדה ויהי <math>F(t)</math> שדה השברים של <math>F[t]</math>. קל לבדוק כי <math>t</math> טרנסצנדנטי מעל <math>F</math>. למעשה, כל איבר ב-<math>F(t)\setminus F</math> הוא טרנסצנדנטי. | ||
+ | |||
+ | '''הגדרה:''' הרחבת שדות <math>K/F</math> נקראת אלגברית אם כל איבר ב-<math>K</math> אלגברי מעל <math>F</math>. | ||
+ | |||
+ | '''סימון:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a\in K</math>. מסמנים <math>F[a]=\{f(a)~|~f\in F[x]\}</math>. | ||
+ | |||
+ | '''טענה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a\in K</math>. אזי <math>a</math> אלגברי מעל <math>F</math> אם ורק אם המימד של <math>F[a]</math> כמרחב וקטורי מעל <math>F</math> סופי. במקרה זה <math>F[a]</math> שדה. |
גרסה מ־15:08, 24 בנובמבר 2011
הרחבות של שדות
הגדרה: יהיה שדה. הרחבה של
היא כינוי לכל שדה
המכיל את
. לרוב כותבים גם
. באופן טבעי
הוא מרחב וקטורי מעל
. המימד של
מעל
יסומן ב-
(הוא אינו חייב להיות סופי).
דוגמא: היא הרחבת שדות ממימד סופי.
היא הרחבת שדות ממימד אינסופי.
טענה: יהיו שדות. אזי
.
הרעיון של ההוכחה: אם הוא בסיס ל-
כמרחב וקטורי מעל
ו-
הוא בסיס ל-
כמרחב וקטורי מעל
אז הקבוצה
היא בסיס ל-
כמרחב וקטורי מעל
והיא בעלת
איברים (זה לא טריוויאלי).
תכונה: אם שדה אז כל חיתוך של תתי שדות של
הוא גם שדה.
הגדרה: נניח ש- שדה ו-
תת שדות של
. הקומפוזיטום של
הוא תת השדה הקטן ביותר המכיל את
. הוא יסומן ב-
.
איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים
הגדרה: תהי הרחבת שדות ו-
. האיבר
נקרא אלגברי מעל
אם קיים פולינום
כך ש-
. אם לא קיים פולינום כזה,
נקרא טרנסצנדנטי מעל
.
דוגמא: הוא אלגברי מעל
כי הוא מאפס את
. לעומת זאת, ניתן להוכיח כי המספרים
הם טרנסצנדנטיים מעל
.
הערה: לא קשה להראות כי כמות המספרים המרוכבים האלגבריים מעל היא בת מנייה. לכן, בהכרח קיימים ב-
(וגם ב-
) איברים טרנסצנדנטיים. (זו הוכחה לא קונסטרוקטיבית לכך שקיימים מספרים טרנצנדנטיים).
דוגמא: יהיה שדה ויהי
שדה השברים של
. קל לבדוק כי
טרנסצנדנטי מעל
. למעשה, כל איבר ב-
הוא טרנסצנדנטי.
הגדרה: הרחבת שדות נקראת אלגברית אם כל איבר ב-
אלגברי מעל
.
סימון: תהי הרחבת שדות ו-
. מסמנים
.
טענה: תהי הרחבת שדות ו-
. אזי
אלגברי מעל
אם ורק אם המימד של
כמרחב וקטורי מעל
סופי. במקרה זה
שדה.