הבדלים בין גרסאות בדף "מבחן השורש של קושי"
מתוך Math-Wiki
Noamlifshitz (שיחה | תרומות) (←מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים) |
Noamlifshitz (שיחה | תרומות) (←הוכחה) |
||
שורה 33: | שורה 33: | ||
כעת, נניח כי <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} =d<1</math>. | כעת, נניח כי <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} =d<1</math>. | ||
− | *לכן החל ממקום מסויים בסדרה, <math>\sqrt[n]{a_n}<\frac{1 | + | *לכן החל ממקום מסויים בסדרה, <math>\sqrt[n]{a_n}<\frac{1+d}{2}<1</math> |
*לכן <math>a_n<\Big(\frac{1+d}{2}\Big)^n</math> | *לכן <math>a_n<\Big(\frac{1+d}{2}\Big)^n</math> |
גרסה מ־19:59, 4 בפברואר 2012
מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים
יהי טור חיובי. אזי:
- אם הטור מתבדר
- אם הטור מתכנס
- אם לא ניתן לקבוע על פי מבחן זה.
הוכחה
נניח כי . נבחר את תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון:
- לכן החל ממקום מסויים בסדרה, .
- לכן
- לכן
- לכן בפרט
ולכן הטור מתבדר.
כעת, נניח כי .
- לכן החל ממקום מסויים בסדרה,
- לכן
- אבל הוא טור הנדסי מתכנס
- לכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים, הטור שלנו מתכנס.
הטורים הם דוגמאות להתכנסות והתבדרות כאשר הגבול שווה ממש לאחד.