הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון אינפי 1, תש"נ"
(←שאלה 3) |
|||
שורה 4: | שורה 4: | ||
==שאלה 1== | ==שאלה 1== | ||
+ | <math>\frac{1}{f}'(x_0)=-\frac{f'(x_0)}{f^2(x_0)}</math> | ||
+ | |||
+ | <s> | ||
+ | ביקשו בכלל את הנגזרת של <math>1/f</math> ולא של <math>f^{-1}</math>... אני צריך ללמוד לקרוא. | ||
(טענה 7.8 אצל ד"ר שיין:) תהי <math>f </math> פונקצ' המוגדרת בסביבת <math>x_0</math>. נניח כי <math>f</math> גזירה ב-<math>x_0</math> וגם <math>f'(x_0) \neq 0</math> וגם קיימת הפונקצייה ההפוכה <math>f^{-1}</math> ורציפה בנקודה <math>y_0=f(x_0)</math>. אזי <math>f^{-1}</math> גזירה ב-<math>y_0 </math>, ונגזרתה שם שווה ל- <math>\frac{1}{f'(x_0)}</math>. | (טענה 7.8 אצל ד"ר שיין:) תהי <math>f </math> פונקצ' המוגדרת בסביבת <math>x_0</math>. נניח כי <math>f</math> גזירה ב-<math>x_0</math> וגם <math>f'(x_0) \neq 0</math> וגם קיימת הפונקצייה ההפוכה <math>f^{-1}</math> ורציפה בנקודה <math>y_0=f(x_0)</math>. אזי <math>f^{-1}</math> גזירה ב-<math>y_0 </math>, ונגזרתה שם שווה ל- <math>\frac{1}{f'(x_0)}</math>. | ||
שורה 14: | שורה 18: | ||
<math>\lim_{y\rightarrow y_0}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}=\frac{1}{f'(x_0)}</math> | <math>\lim_{y\rightarrow y_0}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}=\frac{1}{f'(x_0)}</math> | ||
זה נותן את הנדרש עפ"י הגדרת הנגזרת. | זה נותן את הנדרש עפ"י הגדרת הנגזרת. | ||
+ | </s> | ||
==שאלה 2== | ==שאלה 2== |
גרסה מ־20:25, 5 בפברואר 2012
(המבחן )
שאלה 1
ביקשו בכלל את הנגזרת של ולא של
... אני צריך ללמוד לקרוא.
(טענה 7.8 אצל ד"ר שיין:) תהי
פונקצ' המוגדרת בסביבת
. נניח כי
גזירה ב-
וגם
וגם קיימת הפונקצייה ההפוכה
ורציפה בנקודה
. אזי
גזירה ב-
, ונגזרתה שם שווה ל-
.
הוכחה: לפי ההנחה, f גזירה ב- ולכן עפ"י ההגדרה מתקיים
.
לפי כללי האריתמטיקה (חשבון) של גבולות, מתקיים: .
לפי ההנחות רציפה ב
. לכן
, ובאותו האופן
, ולכן בסך הכל קיבלנו ש-
זה נותן את הנדרש עפ"י הגדרת הנגזרת.
שאלה 2
נגדיר פונ' על ידי
.
h רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונ' רציפות.
ואילו
ולכן לפי משפט ערך הביניים
.
בנקודה זו מתקיים הדרוש - . מש"ל.
שאלה 3
א) משפט טיילור - תהי פונקצייה מוגדרת וגזירה
פעמים בסביבה
של
. אז
, כאשר
.
ב)תהי . אנחנו יודעים שפיתוח טיילור של פולינום עבור סדר גדול מדרגתו או שווה לו יהיה שווה לפולינום עצמו, ולכן התרגיל די מיותר, אבל נפתור בכל זאת:
נחשב נגזרות -
,
ועם קצת פתיחת סוגריים ופישוט נקבל את הפולינום שהתחלנו ממנו.
מתקיים ולכן השארית היא 0, כצפוי.
שאלה 4
הפונקצייה בכל מחזור תעלה בדיוק ב
, ולכן הפונקצייה היא אוסף עותקים עולים ('קופצים') ב
בכל פעם של קטע בודד באורך
שלה. (ראו הגרף)
נימוק פורמלי:.
גם ברור שהיא רציפה כסכום והרכבת רציפות.
נגזור:
זה סיזיפי, אבל מוצאים אילו מהנק' הנ"ל הן בתחום, מציבים בנגזרת השנייה לבדיקת סוג קיצון וכו'.
גרף באדיבות וולפראם: קובץ:X+sin2x.pdf
שאלה 5
א) סדרה ממשית תקרא סדרת קושי אם("ם):
ב)ניקח את הסדרה שהאיבר ה-
-י בה הוא הקירוב העשרוני עד למקום ה-n של
(יותר מגניב משורש 2, אבל פחות נכון כי לך תוכיח שהוא לא רציונלי).
היא של רציונליים, היא מתכנסת מעל הממשיים ולכן היא סדרת קושי, אבל
, אם להאמין לספרים, אינו רציונלי.
שאלה 6
השאלה אמנם לא בחומר, אבל קלה מדי אפילו לבגרות(בהנחה שהבנתי אותה נכון):
המהירות היא ולכן האינטגרל הוא
, ועם תנאי ההתחלה
נקבל
.
לכן אנו מעוניינים במקסימום הגלובלי של בתחום
.
הנגזרת שווה למהירות, והיא מתאפסת בתחום הנ"ל בנקודה . לכן מספיק למצוא את הערך הגדול ביותר בין הערכים שהפונ' מקבלת בנקודות 2,0,3.
,
,
ולכן ההעתק המקסימלי הוא
.