פתרון אינפי 1, תש"נ

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

(המבחן )

שאלה 2

נגדיר פונקציה h על-ידי \forall x\in[0,2]:h(x)=x\cdot f(x) . h רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונקציות רציפות.

h(2)=2f(2)=2\cdot1=2 ואילו h(0)=0f(0)=0 ולכן לפי משפט ערך הביניים \exists x_0\in[0,2]:h(x)=1 .

בנקודה זו מתקיים הדרוש - h(x)=x_0\cdot f(x_0)=1\to f(x_0)=\frac1{x_0} . \blacksquare

שאלה 3

א) משפט טיילור - תהי f פונקציה מוגדרת וגזירה n+1 פעמים בסביבה S של x_0 . אז \forall x\in S:f(x)=P_n(x)+R_n(x) , כאשר P_n(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k .

ב)תהי f(x)=x^3-4x^2+2x . אנחנו יודעים שפיתוח טיילור של פולינום עבור סדר גדול מדרגתו או שווה לו יהיה שווה לפולינום עצמו, ולכן התרגיל די מיותר, אבל נפתור בכל זאת:

נחשב נגזרות - f'(x)=(x^3-4x^2+2x)'=3x^2-8x+2

f''(x)=(3x^2-8x+2)'=6x-8

f^{(3)}(x)=(6x-8)'=6

f^{(4)}(x)=f^{(5)}(x)=0

\begin{align}P_5(x)&=\sum_{k=0}^5\frac{f^{(k)}(2)}{k!}(x-2)^k=f(2)+f'(2)(x-2)+\frac{f''(2)}{2}(x-2)^2+\frac{f^{(3)}(2)}{6}(x-2)^3+0+0\\&=2^3-4\cdot4+4+(3\cdot4-8\cdot2+2)(x-2)+\frac{(12-8)}{2}(x-2)^2+\frac{6}{6}(x-2)^3\\&=-4-2(x-2)+2(x-2)^2+(x-2)^3\end{align}


ועם קצת פתיחת סוגריים ופישוט נקבל את הפולינום שהתחלנו ממנו.

מתקיים R_{n+1}(x)=f(x)-P_n(x) ולכן השארית היא 0 , כצפוי.

שאלה 4

הפונקציה בכל מחזור \pi תעלה בדיוק ב- \pi , ולכן הפונקציה היא אוסף עותקים עולים ('קופצים') ב- \pi בכל פעם של קטע בודד באורך \pi שלה. (ראו הגרף)

נימוק פורמלי: f(x+\pi)=x+\pi+\sin(2x+2\pi)=x+\sin(2x)+\pi=f(x)+\pi .

גם ברור שהיא רציפה כסכום והרכבת רציפות.

נגזור: f'(x)=1+2\cos(2x)=0\iff \cos(2x)=-\frac12

\iff 2x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k\ \or 2x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k\iff x=\frac{\pi}{3}+\pi k\or x=-\frac{\pi}{3}+\pi k\ (k\in\N)

זה סיזיפי, אבל מוצאים אילו מהנקודות הנ"ל הן בתחום, מציבים בנגזרת השניה לבדיקת סוג קיצון וכו'.

גרף באדיבות וולפראם: קובץ:X+sin2x.pdf

שאלה 5

א) סדרה ממשית \{a_n\}^\infty תקרא סדרת קושי אם("ם): \forall \epsilon>0\ ,\ \exists N\in\N\ ,\ \forall m,n\in\N :(m>N \wedge n>N \to |a_m-a_n|<\epsilon)

ב) ניקח את הסדרה a_n שהאיבר ה- n-י בה הוא הקירוב העשרוני עד למקום ה- n של \pi (יותר מגניב משורש 2, אבל פחות נכון כי לך תוכיח שהוא לא-רציונאלי). היא של רציונאליים, היא מתכנסת מעל הממשיים ולכן היא סדרת קושי, אבל \pi, אם להאמין לספרים, אינו רציונאלי.

ג) נשים לב שהטור \sum (a_{n+1} - a_n) = (-1)^n(\frac1{2^n} + \frac1{2^n\cdot n!})

שאלה 6

השאלה אמנם לא בחומר, אבל קלה מדי אפילו לבגרות(בהנחה שהבנתי אותה נכון):

המהירות היא v(t)=4-t^2 ולכן האינטגרל הוא x(t)=\int (4-t^2) dt=4t-\frac{t^3}{3}+C , ועם תנאי ההתחלה x(0)=0 נקבל C=0 .

לכן אנו מעוניינים במקסימום הגלובלי של x(t)=4t-\frac{t^3}{3} בתחום [0,3] .

הנגזרת שווה למהירות, והיא מתאפסת בתחום הנ"ל בנקודה t=2 . לכן מספיק למצוא את הערך הגדול ביותר בין הערכים שהפונקציה מקבלת בנקודות 2,0,3. x(2)=8-\frac83=5\frac13\ ,\ x(0)=0\ ,\ x(3)=12-9=3 ולכן ההעתק המקסימלי הוא 5\frac13 .