הבדלים בין גרסאות בדף "חקירת פונקציות"
אחיה בר-און (שיחה | תרומות) (←תרגילים) |
אחיה בר-און (שיחה | תרומות) (←תרגילים) |
||
שורה 112: | שורה 112: | ||
וסביבה שמאלית <math>V</math> | וסביבה שמאלית <math>V</math> | ||
בה <math>f(x)\leq f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})</math> | בה <math>f(x)\leq f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})</math> | ||
− | + | או להיפך. | |
משפט: <math>f"(x_{0})>0</math> | משפט: <math>f"(x_{0})>0</math> | ||
שורה 118: | שורה 118: | ||
אז <math>f(x)</math> | אז <math>f(x)</math> | ||
קעורה כלפי מעלה (כלפי מטה) ב-<math>x_{0}</math> | קעורה כלפי מעלה (כלפי מטה) ב-<math>x_{0}</math> | ||
− | |||
משפט: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם <math>f"(x)</math> | משפט: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם <math>f"(x)</math> | ||
אינה קיימת או ש <math>f"(x)=0</math> | אינה קיימת או ש <math>f"(x)=0</math> | ||
− | דוגמא: f"(x)=2 | + | דוגמא: <math>f"(x)=2</math> |
ולכן אין נקודות פיתול והפונקציה קעורה כלפי מעלה בכל הישר. | ולכן אין נקודות פיתול והפונקציה קעורה כלפי מעלה בכל הישר. | ||
שורה 148: | שורה 147: | ||
דוגמא- אצלנו: | דוגמא- אצלנו: | ||
− | <math>a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}-6x+5}{x}=\ | + | <math>a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}-6x+5}{x}=\infty</math>y |
ולכן אין אסימטוטה אופקית | ולכן אין אסימטוטה אופקית | ||
שורה 264: | שורה 263: | ||
=====מקס' או מיני'===== | =====מקס' או מיני'===== | ||
− | + | נשים לב שסימן הנגזרת נקבע לפי החלק של <math>36-x^{2}</math> | |
− | <math> | + | <math>f'(-7)<0,f'(-6)=0,f'(-4)>0,f'(-1)>0,f'(0)=0,f'(1)>0,f'(4)>-,f'(6)=0,f'(7)<0</math> |
− | + | ולכן מימין ל <math>-6</math> הפונקציה יורדת ומימין ל <math>-6</math> | |
− | + | היא עולה ולכן <math>-6</math> נקודות מיני' | |
− | + | ||
− | + | 6 נקודת מקס | |
− | + | ||
− | + | ||
− | תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול | + | 0 אינה נקודת קיצון כי הפונקציה עולה גם מימין ל-0 וגם משמאל |
+ | |||
+ | ====תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול==== | ||
+ | |||
+ | דוגמא: <math>f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}}</math> | ||
+ | אזי | ||
+ | <math>f'(x)=\frac{3x^{2}(12-x^{2})+2x^{4}}{(12-x^{2})^{2}}=\frac{x^{2}(36-x^{2})}{(12-x^{2})^{2}}</math> | ||
− | + | ו <math>f"(x)=\frac{24x(12-x^{2})[36+x^{2}]}{(12-x^{2})^{4}}</math> | |
− | + | ||
− | + | ||
− | הנקודות החשודות לפיתלול הם 0,\pm\sqrt{12} | + | הנקודות החשודות לפיתלול הם <math>0,\pm\sqrt{12}</math> |
− | + | הסימן של <math>f"(x)</math> | |
− | + | נקבע לפי החלק <math>x(12-x^{2})</math> | |
− | נבדוק f"(-4)>0,f"(-1)<0,f(0)=0,f(1)>0,f(4)<0 | + | נבדוק <math>f"(-4)>0,f"(-1)<0,f(0)=0,f(1)>0,f(4)<0</math> |
− | + | ומכאן מסיקים כי | |
− | בקטע (-\infty,-\sqrt{12}) | + | בקטע <math>(-\infty,-\sqrt{12})</math> |
− | + | הפונצקיה קעורה כלפי מעלה | |
− | בקטע (-\sqrt{12},0) | + | בקטע <math>(-\sqrt{12},0)</math> |
− | + | הפונצקיה קעורה כלפי מטה | |
− | בקטע (0,\sqrt{12}) | + | בקטע <math>(0,\sqrt{12})</math> |
− | + | הפונצקיה קעורה כלפי מעלה | |
− | בקטע (\sqrt{12},\infty) | + | בקטע <math>(\sqrt{12},\infty)</math> |
− | + | הפונצקיה קעורה כלפי מטה | |
ובנקודה 0 | ובנקודה 0 | ||
− | + | יש נקודות פיתול(כי הנגזרת השניה שלילית עד אליה וחיובית ממנה) | |
− | אסימטוטות | + | ====אסימטוטות ==== |
− | + | ל- <math>f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}}</math> | |
− | + | יש 2 אסימטוטות אנכיות ב <math>x=\pm\sqrt{12}</math> | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
+ | כי <math>lim_{x\to-\sqrt{12}^{+}}f(x)=lim_{x\to\sqrt{12}^{+}}f(x)=-\infty | ||
+ | </math> | ||
− | + | <math>lim_{x\to-\sqrt{12}^{-}}f(x)=lim_{x\to\sqrt{12}^{-}}f(x)=\infty</math> | |
− | + | אסימטוטה אופקית: | |
− | + | ||
− | + | <math>a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{x(12-x^{2})}=-1</math> | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | <math>b=lim_{x\to\infty}(\frac{x^{3}}{12-x^{2}}+x)=lim_{x\to\infty}(\frac{12x}{12-x^{2}})=0</math> | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | b=lim_{x\to\infty}(\frac{x^{3}}{12-x^{2}}+x)=lim_{x\to\infty}(\frac{12x}{12-x^{2}})=0 | + | |
+ | באותו אופן גם אסימטוטה לכיוון <math>x\to-\infty</math> | ||
+ | תצא אותו דבר. | ||
− | + | ולכן <math>l(x)=-x</math> אסימטוטה אופקית לשני הצדדים | |
− | + | ||
− | + | ====התנהגות הפונצקיה באינסוף==== | |
− | + | ||
− | + | עבור הדוגמא שלנו | |
− | + | <math>lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{12-x^{2}}=-\infty,lim_{x\to-\infty}\frac{x^{3}}{12-x^{2}}=\infty</math> | |
− | עבור הדוגמא שלנו lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{12-x^{2}}=-\infty,lim_{x\to-\infty}\frac{x^{3}}{12-x^{2}}=\infty | + | |
− | ציור הפונקציה | + | ====ציור הפונקציה==== |
− | + | ||
+ | [[קובץ:Examp3e2CStirgul2.gif]] | ||
משפטים לסיכום | משפטים לסיכום | ||
− | .1 אם f(x) | + | <math>.1</math> אם <math>f(x)</math> גזירה בנקודת קיצון x_{0} אזי <math>f'(x_{0})=0</math> |
− | + | ||
− | + | ||
− | .2 מבחן הנגזרת השניה- אם f'(x_{0})=0 | + | <math>.2</math> מבחן הנגזרת השניה- אם <math>f'(x_{0})=0</math> ומתקיים <math>f"(x_{0})>0</math> |
− | + | אז <math>x_{0}</math> | |
− | + | נקודות מיני' | |
− | + | ||
− | + | ||
− | .3 אם f'(x)\leq0 | + | <math>.3</math> אם <math>f'(x)\leq0</math> |
− | + | בקטע <math>I</math> | |
− | + | אזי הפונקציה יורדת שם. אם <math>f'(x)\geq0</math> | |
− | + | אז הפונקציה עולה שם | |
− | .4 אם f"(x_{0})>0 | + | <math>.4</math> אם <math>f"(x_{0})>0</math> |
− | + | אז <math>f(x)</math> קעורה כלפי מעלה ב-<math>x_{0}</math> | |
− | + | מסקנה: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם <math>f"(x)</math> אינה קיימת או ש <math>f"(x)=0</math> | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + |
גרסה מ־15:21, 2 במרץ 2014
נושא חקירת פונקציות בקורס חשבון אינפיניטיסימלי כוללת מחקר סט תכונות מוסכם (פחות או יותר):
- תחום הגדרה (קביעה באילו נקודות הפונקציה מוגדרת)
- זוגיות (קביעה האם הפונקציה זוגית, אי-זוגית או לא)
- תחומי מונוטוניות ומציאת נקודות קיצון
- תחומי קמירות ומציאת נקודות פיתול
- אסימפטוטות מאונכות
- נקודות חיתוך עם הצירים
- אסימפטוטות משופעות ומציאת התנהגות באינסוף
- תרפיה בתרשים- ציור גרף הפונקציה
הסברים ותרגילים על חקירת פונקציות
תוכן עניינים
תרגילים
דוגמא מספר 1 -
תחום הגדרה
הגדרה: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): תהא f(x)
פונקציה. תחום ההגדרה של היא A- אוסף כל הנקודות בהם מוגדרת
דוגמא: תחום ההגדרה של הוא כל הישר
זוגיות/אי זוגיות
הגדרה: תקרא זוגית אם הגדרה: תקרא אי זוגית אם
דוגמא: ולכן
אינה זוגית ואינה אי זוגית
חיתוך עם הצירים
החיתוך עם ציר x הן הנקודות
החיתוך עם ציר y היא הנקודה
נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה
הגדרה: תהא פונקציה. נאמר ש עולה (יורדת) בתחום אם ()
הגדרה: תהא פונקציה. תקרא נקודת קיצון- מקס' (או מינ') אם קיימת לה סביבה כך ש (או )
משפט: אם גזירה בנקודת קיצון אזי
מסקנה: בשביל למצוא נקודות קיצון של
מספיק לבדוק מתי
או מתי הנגזרת אינה קיימת כלל.
דוגמא - נמצא את הנקודות האפשריות לנקודות קיצון ל :
ולכן הנקודה החשודה היחידה היא
מקס' או מיני'
איך יודעים אם מדובר בנקודות קיצון ואם מדובר בקיצון מקס' או בקיצון מיני'?
- בדיקת הפונצקיה עצמה- הנקודות החשודות מחלקות את הישר לקטעים. נציב בכל קטע נקודה ונבדוק מה מתקבל:למשל נציב
ולכן 3 נקודת מיני הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הפונצקיה היתה מחליפה מיקום )ביחס לנקודות החשודות( איפה שהוא אזי היתה נוצרת נקו' קיצון ואז היינו מגלים אותה בשלב הקודם.
- בדיקת ערכי הנגזרת- נבדוק את סימן הנגזרת מימין ומשמאל לנקודות (
מסתמך על העובדה כי : אם בקטע I אזי הפונקציה יורדת שם. אם אז הפונקציה עולה שם): ולכן משמאל ל 3 הפונקציה יורדת ומימין ל 3 היא עולה ולכן 3 נקודות מיני'הערה: בשלב זה מצב כי תחום העליה של הוא ותחום הירידה
הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הנגזרת היתה מחליפה איפה שהוא את סימנה אזי היתה נוצרת נקו' קיצון ואז היינו מגלים אותה בשלב הקודם.
- מבחן הנגזרת השניה- אם
ומתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x_{0})>0
(או עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)<0
)
אז נקודות מיני' (או מקס'):
אצלנו עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)=2
ולכן עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(2)>0
תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול
תהא גזירה בנקודה אזי נאמר שהפונצקיה קעורה כלפי מעלה (כלפי מטה) ב אם קיימת סביבה של כך שלכל מתקיים:
()
נאמר ש נקודת פיתול אם קיימת סביבה
ימנית בה
וסביבה שמאלית
בה
או להיפך.
משפט: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x_{0})>0
עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): (f"(x_{0})<0)
אז קעורה כלפי מעלה (כלפי מטה) ב-
משפט: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)
אינה קיימת או ש עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)=0
דוגמא: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)=2
ולכן אין נקודות פיתול והפונקציה קעורה כלפי מעלה בכל הישר.
אסימטוטות
הגדרה: אסימטוטה אנכית ל היא קו מהצורה כך שמתקיים אצלנו אין אסימטוטה אנכית.
הגדרה: אסימטוטה אופקית היא ישר המקיים או
איך מוצאים ? מתקיים
ואז
דוגמא- אצלנו:
y ולכן אין אסימטוטה אופקית
התנהגות הפונצקיה באינסוף
עבור הדוגמא שלנו
דוגמא 2:
תחום הגדרה
כי לא מוגדרת עבור -ים שליליים.
זוגיות/אי זוגיות
לא שייך בגלל תחום ההגדרה.
חיתוך עם הצירים
החיתוך עם ציר הוא
החיתוך עם ציר y לא קיים בגלל תחום ההגדרה
נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה
לכן יש לה נקודה חשודה ב
.
הסימן של עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"
נקבע ע"י
ולכן זוהי נקודת מקס'
תחומי העלייה של הפונקציה
תחומי ירידה
תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול
הסימן של עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"
נקבע ע"י ולכן נקודות חשודות לפיתול הם
עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(e)<0,f"(e^{4})>0
ולכן נקודת פיתול
הפונקציה קעורה כלפי מטה ב
הפונצקיה קעורה כלפי מעלה ב
אסימטוטות
אסימטוטה אנכית ב כיוון ש
אסימטוטה אופקית:
ולכן
אסימטוטה אופקית
התנהגות הפונצקיה באינסוף
עבור הדוגמא שלנו
ציור הפונקציה
דוגמא 3:
תחום הגדרה
תחום ההגדרה של הוא
זוגיות/אי זוגיות
ולכן אי זוגית
נקודות קיצון
ולכן הנקודות החשודות הן (נשים לב שהנקודות ) אינן נקודות קיצון כי אינן בתחום ההגדרה.
מקס' או מיני'
נשים לב שסימן הנגזרת נקבע לפי החלק של ולכן מימין ל הפונקציה יורדת ומימין ל היא עולה ולכן נקודות מיני'
6 נקודת מקס
0 אינה נקודת קיצון כי הפונקציה עולה גם מימין ל-0 וגם משמאל
תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול
דוגמא: אזי
ו עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)=\frac{24x(12-x^{2})[36+x^{2}]}{(12-x^{2})^{4}}
הנקודות החשודות לפיתלול הם הסימן של עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)
נקבע לפי החלק
נבדוק עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(-4)>0,f"(-1)<0,f(0)=0,f(1)>0,f(4)<0
ומכאן מסיקים כי
בקטע הפונצקיה קעורה כלפי מעלה
בקטע הפונצקיה קעורה כלפי מטה
בקטע הפונצקיה קעורה כלפי מעלה
בקטע הפונצקיה קעורה כלפי מטה
ובנקודה 0 יש נקודות פיתול(כי הנגזרת השניה שלילית עד אליה וחיובית ממנה)
אסימטוטות
ל- יש 2 אסימטוטות אנכיות ב
כי
אסימטוטה אופקית:
באותו אופן גם אסימטוטה לכיוון תצא אותו דבר.
ולכן אסימטוטה אופקית לשני הצדדים
התנהגות הפונצקיה באינסוף
עבור הדוגמא שלנו
ציור הפונקציה
משפטים לסיכום
אם גזירה בנקודת קיצון x_{0} אזי
מבחן הנגזרת השניה- אם ומתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x_{0})>0
אז נקודות מיני'
אם בקטע אזי הפונקציה יורדת שם. אם אז הפונקציה עולה שם
אם עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x_{0})>0
אז קעורה כלפי מעלה ב- מסקנה: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)
אינה קיימת או ש עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)=0