משתמש:אור שחף/133 - תרגול/15.5.11
תוכן עניינים
התכנסות במ"ש (המשך)
משפט: במ"ש בקטע I אם"ם לכל
יש
כך שלכל
מתקיים
.
דוגמה 1
תהי . קבעו התכנסות בכל אחד מהקטעים הבאים:
-
עבור
- בקטע
פתרון
פונקציית הגבול היא .
- נראה התכנסות במ"ש ב-
:
.
- נראה שההתכנסות נקודתית בלבד ב-
:
.
דוגמה 2
קבע האם מתכנסת במ"ש ב-
.
פתרון
קל לראות ש-. נבדוק התכנסות במ"ש:
. נחפש מקסימום:
וקל לראות שהנגזרת מתאפסת עבור
. ברור ש-
מונוטונית יורדת ב-
ולכן זו אכן נקודת מקסימום גלובלית. מתקיים
ולכן
. מכאן שההתכנסות נקודתית בלבד.
דוגמה 3
תהי סדרת פונקציות המתכנסת במ"ש לפונקציה f, האם f חסומה?
פתרון
נבחר לדוגמה בקטע
. ברור כי
וכי אם
אז
, לכן f לא חסומה.
דוגמה 4
תהי סדרת פונקציות המתכנסת לפונקציה f במ"ש ב-I. נוכיח כי אם כל אחת מהפונקציות
חסומה ב-I, אזי גם f חסומה ב-I.
פתרון
נרשום . נתון כי ההתכנסות במ"ש ולכן
, בפרט עבור
. כמו כן
חסומה ב-I (מהנתון) כלומר קיים M כך ש-
ולכן מתקבל ש-
לכל
.
משפט: אם מתכנסת במ"ש בקטע I וכל
רציפה אזי f רציפה.
דוגמה 5
ניתן דוגמה לסדרת פונקציות רציפות המתכנסות לפונקציה רציפה אבל לא מתכנסת במ"ש.
פתרון
נגדיר את הפונקציה הבאה: . קל לראות שהפונקציה הנ"ל מוגדרת בקטע
, אפשר לראות שהפונקציה הנ"ל רציפה.
לכל יש
כך שלכל
מתקיים
שם מתקיים
, כלומר
סדרה קבועה מ-
מסויים. כמו כן
ולכן ההתכנסות אינה במ"ש.
טורים של פונקציות
דוגמה 6
נסמן לכל n, בקטע
. מה היא פונקצית הסכום
?
פתרון
.
דוגמה 7
נוכיח כי הטור מתכנס ל-
במ"ש בקטע
כאשר
.
פתרון
בזכות טורי טיילור ברור שיש התכנסות נקודתית, נותר לבדוק התכנסות במ"ש. נסמן . כאשר
השארית בין הטור-טיילור מסדר N לבין
מתקיים
. כמו כן
. נוכיח ש-
וכך נוכיח שההתכנסות במ"ש. מספיק להסתכל על
, לכן
מתכנס ובפרט
.
דוגמה 8
בדקו התכנסות במ"ש של .
פתרון
נשים לב כי לא ידועה לנו פונקצית הגבול של הטור ולכן לא ניתן להוכיח התכנסות במ"ש ישירות מההגדרה. במקום, נפנה לתנאי קושי: יהי נתון. ברור כי
. הטור
מתכנס ולכן מקיים את תנאי קושי, כלומר קיים
כל שלכל
מתקיים
. לכן, עבור אותו
, לכל
מתקיים
.