שינויים

[[קובץ:קירוב אורך גרף.png|ימיןשמאל|300px]]

תהי <math>f </math> פונקציה גזירה ברציפות בקטע סגור <math>[a,b]</math>. נקרב את אורך העקומה שלה (אורך הקו שלה בגרף) על -ידי גבול סכום המיתרים בין נקודות הפונקציה על חלוקות (סכום הקווים הכחולים בציור).

עבור חלוקת הקטע <math>P=\{x_0,...\ldots,x_n\}</math>, הנוסחא לסכום המיתרים נתונה על -ידי:

{{left|<math>\begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+\big(f(x_k)-f(x_{k-1})\big)^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\ cdot(x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)^2}\cdot\Delta x_k\end{align}</math>}}

כאשר הנקודות הגענו לסכום רימאן עבור הפונקציה <math>c_k\sqrt{1+f'(x)^2}</math> מקיימות . כיון שנתון כי <math>\forall k:\ c_k\inf'(x_x)</math> רציפה, גם <math>\sqrt{k-1},x_k+f'(x)^2}</math>. אכן קיימות נקודות כאלה לפי משפט לגראנז'רציפה בקטע הסגור ולכן אינטגרבילית.

 הגענו לסכום רימן עבור הפונקציה <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math>. כיוון שנתון כי <math>f'(x)</math> רציפה, גם <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> רציפה בקטע הסגור ולכן אינטגרבילית. על כן סכומי רימן רימאן אלה שואפים לאינטגרל <math>\displaystyle\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\ \mathrm ,dx</math> וזוהי הנוסחא לחישוב אורך עקום של פונקציה.