שינויים

תהי <math>f </math> פונקציה ממשית המוגדרת וחסומה בקטע <math>(a,b)</math>. אזי ישנן שתי הגדרות שקולות לאינטגרל המסויים המסוים של <math>f </math> בקטע:

*הגדרה לפי '''דרבודארבו''': אם גבול [[סכום דרבו|סכומי דרבודארבו]] התחתונים קיים ושווה לגבול סכומי דרבו דארבו העליונים אזי הפונקציה <math>f </math> '''אינטגרבילית''' בקטע והאינטגרל המסויים המסוים בקטע שווה לגבול סכומי הדרבודארבו.*הגדרה לפי '''רימןרימאן''': אם גבול [[סכום רימן|סכומי רימןרימאן]] קיים אזי <math>f </math> '''אינטגרבילית''' בקטע והאינטגרל המסויים המסוים בקטע שווה לגבול סכומי הרימןרימאן.

הוכח כי הפונקציה הבאה אינה אינטגרבילית בקטע <math>[0,1]</math>: :<math>D(x)=\begin{cases}1&x\in\Q\\0&x\notin\Q\end{cases}</math> ;הוכחה.כיון שבכל [[חלוקה]] ובכל קטע קיימות גם נקודה רציונאלית וגם נקודה אי-רציונאלית, מתקיים לכל קטע: :<math>m_k=\inf\Big\{D(x)|x_{k-1}\le x\le x_k\Big\}=0</math> :<math>M_k=\sup\Big\{D(x)|x_{k-1}\le x\le x_k\Big\}=1</math> ולכן '''כל''' [[סכום דרבו|סכום דארבו]] תחתון שווה:<math>\sum_k0\cdot\Delta_k=0</math> וכמו כן '''כל''' [[סכום דרבו|סכום דארבו]] עליון שווה:<math>\sum_k1\cdot\Delta_k=\sum_k\Delta_k=\Big|[0,1]\Big|=1-0=1</math> שכן סכום אורכי כל תתי-הקטעים של החלוקה, שווה לאורך הקטע כולו. אם כך, גבול סכומי דארבו התחתונים הנו <math>0</math> והוא שונה מגבול סכומי דארבו העליונים שהוא <math>1</math>, ולכן הפונקציה '''אינה אינטגרבילית''' בקטע. ===פונקצית רימאן===הוכח כי הפונקציה הבאה אינטגרבילית בקטע <math>[0,1]</math> , וכי מתקיים <math>\displaystyle\int\limits_0^1 R(x)dx=0</math> :<math>R(x)=\begin{cases} \frac1{q}&x=\frac{p}{q}\\0&x\notin\Q\end{cases}</math> כאשר <math>\frac{p}{q}</math> הוא '''השבר המצומצם''' של <math>x</math>. ;הוכחה.באופן דומה לתרגיל על פונקציית דיריכלה, קל לראות כי גבול סכומי דארבו התחתונים הוא <math>0</math>. לכן ניתן להוכיח כי גבול סכומי דרבו העליונים גם הוא <math>0</math>. יהי <math>\epsilon>0</math> . צריך למצוא <math>\delta>0</math> כך ש'''לכל''' [[חלוקה]] עם [[חלוקה|פרמטר חלוקה]] קטן מ- <math>\delta</math> , מתקיים שמרחק סכום הדארבו העליון שלה מ- <math>0</math> קטן מ- <math>\epsilon</math> . כיון שמדובר בפונקציה חיובית, והגבול הנו <math>0</math> , צריך להוכיח שלכל חלוקה סכום הדארבו העליון קטן מ- <math>\epsilon</math> . כעת נראה כי לכל מספר טבעי <math>q</math> מספר הנקודות בקטע בהן <math>R(x)\ge\frac1{q}</math> הוא סופי, ונסמן מספר זה ב- <math>n_q</math> . אכן, הנקודות היחידות המקיימות תנאי זה הן <math>1,\frac12,\frac13,\frac23,\frac14,\frac24,\frac34,\ldots,\frac1{q},\ldots,\frac{q-1}{q}</math> (שימו לב שיתכן שחלק מהשברים הללו אינם מצומצמים ולכן יש אפילו פחות נקודות מאשר ברשימה הזו). כעת, בהנתן חלוקה <math>P</math> כלשהי, לכל היותר <math>n_q</math> קטעים מכילים נקודות בהן <math>R\ge\frac1{q}</math> , ולכן שטח הפונקציה במלבנים המתאימים לחלקים אלה הוא לכל היותר <math>1</math> כפול אורך הקטע. בשאר הקטעים, גובה הפונקציה חסום על-ידי <math>\frac1{q}</math> . לכן סכום הדרבו העליון הוא לכל היותר סכום הקטעים משני הסוגים האלו, ויתרה על כך: :<math>\overline{S}(R,P)\le\frac1{q}\cdot\Big|[0,1]\Big|+n_q\cdot\lambda(P)</math> כאשר <math>\lambda(P)</math> הוא אורך הקטע הכי ארוך בחלוקה. בוודאי אורכי הקטעים המכילים את הנקודות הגבוהות קטנים או שווים לו.  בסה"כ, נבחר q כך ש::<math>\frac1{q}<\frac{\epsilon}{2}</math> ולאחר מכן נבחר <math>\delta</math> כך ש::<math>n_q\delta<\frac{\epsilon}{2}</math> וכך קיבלנו את שרצינו. <math>\blacksquare</math>

::<math>f(x)=\begin{cases} 1&x\in\mathbb{Q}\\0&x\notin\mathbb{Q}\end{cases}</math>=חישוב האינטגרל המסוים==קיימות מספר שיטות לחישוב האינטגרל המסוים, כשהנפוצה והשימושית ביותר היא שימוש ב[[המשפט היסודי של החדוא|נוסחת ניוטון-לייבניץ]].