אינטגרל מסויים

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

הגדרה

תהי f פונקציה ממשית המוגדרת וחסומה בקטע (a,b) . אזי ישנן שתי הגדרות שקולות לאינטגרל המסוים של f בקטע:

  • הגדרה לפי דארבו: אם גבול סכומי דארבו התחתונים קיים ושווה לגבול סכומי דארבו העליונים אזי הפונקציה f אינטגרבילית בקטע והאינטגרל המסוים בקטע שווה לגבול סכומי דארבו.
  • הגדרה לפי רימאן: אם גבול סכומי רימאן קיים אזי f אינטגרבילית בקטע והאינטגרל המסוים בקטע שווה לגבול סכומי רימאן.

דוגמאות

פונקצית דיריכלה

הוכח כי הפונקציה הבאה אינה אינטגרבילית בקטע [0,1] :

D(x)=\begin{cases}1&x\in\Q\\0&x\notin\Q\end{cases}
הוכחה.

כיון שבכל חלוקה ובכל קטע קיימות גם נקודה רציונאלית וגם נקודה אי-רציונאלית, מתקיים לכל קטע:

m_k=\inf\Big\{D(x)|x_{k-1}\le x\le x_k\Big\}=0
M_k=\sup\Big\{D(x)|x_{k-1}\le x\le x_k\Big\}=1

ולכן כל סכום דארבו תחתון שווה

\sum_k0\cdot\Delta_k=0

וכמו כן כל סכום דארבו עליון שווה

\sum_k1\cdot\Delta_k=\sum_k\Delta_k=\Big|[0,1]\Big|=1-0=1

שכן סכום אורכי כל תתי-הקטעים של החלוקה, שווה לאורך הקטע כולו.

אם כך, גבול סכומי דארבו התחתונים הנו 0 והוא שונה מגבול סכומי דארבו העליונים שהוא 1, ולכן הפונקציה אינה אינטגרבילית בקטע.

פונקצית רימאן

הוכח כי הפונקציה הבאה אינטגרבילית בקטע [0,1] , וכי מתקיים \displaystyle\int\limits_0^1 R(x)dx=0

R(x)=\begin{cases} \frac1{q}&x=\frac{p}{q}\\0&x\notin\Q\end{cases}

כאשר \frac{p}{q} הוא השבר המצומצם של x.

הוכחה.

באופן דומה לתרגיל על פונקציית דיריכלה, קל לראות כי גבול סכומי דארבו התחתונים הוא 0. לכן ניתן להוכיח כי גבול סכומי דרבו העליונים גם הוא 0.

יהי \epsilon>0 . צריך למצוא \delta>0 כך שלכל חלוקה עם פרמטר חלוקה קטן מ- \delta , מתקיים שמרחק סכום הדארבו העליון שלה מ- 0 קטן מ- \epsilon .

כיון שמדובר בפונקציה חיובית, והגבול הנו 0 , צריך להוכיח שלכל חלוקה סכום הדארבו העליון קטן מ- \epsilon .

כעת נראה כי לכל מספר טבעי q מספר הנקודות בקטע בהן R(x)\ge\frac1{q} הוא סופי, ונסמן מספר זה ב- n_q .

אכן, הנקודות היחידות המקיימות תנאי זה הן 1,\frac12,\frac13,\frac23,\frac14,\frac24,\frac34,\ldots,\frac1{q},\ldots,\frac{q-1}{q} (שימו לב שיתכן שחלק מהשברים הללו אינם מצומצמים ולכן יש אפילו פחות נקודות מאשר ברשימה הזו).

כעת, בהנתן חלוקה P כלשהי, לכל היותר n_q קטעים מכילים נקודות בהן R\ge\frac1{q} , ולכן שטח הפונקציה במלבנים המתאימים לחלקים אלה הוא לכל היותר 1 כפול אורך הקטע.

בשאר הקטעים, גובה הפונקציה חסום על-ידי \frac1{q} .

לכן סכום הדרבו העליון הוא לכל היותר סכום הקטעים משני הסוגים האלו, ויתרה על כך:

\overline{S}(R,P)\le\frac1{q}\cdot\Big|[0,1]\Big|+n_q\cdot\lambda(P)

כאשר \lambda(P) הוא אורך הקטע הכי ארוך בחלוקה. בוודאי אורכי הקטעים המכילים את הנקודות הגבוהות קטנים או שווים לו.


בסה"כ, נבחר q כך ש:

\frac1{q}<\frac{\epsilon}{2}

ולאחר מכן נבחר \delta כך ש:

n_q\delta<\frac{\epsilon}{2}

וכך קיבלנו את שרצינו. \blacksquare

חישוב האינטגרל המסוים

קיימות מספר שיטות לחישוב האינטגרל המסוים, כשהנפוצה והשימושית ביותר היא שימוש בנוסחת ניוטון-לייבניץ.