שינויים

תהי <math>f </math> פונקציה ממשית המוגדרת וחסומה בקטע <math>(a,b)</math>. אזי ישנן שתי הגדרות שקולות לאינטגרל המסויים המסוים של <math>f </math> בקטע:

*הגדרה לפי '''דרבודארבו''': אם גבול [[סכום דרבו|סכומי דרבודארבו]] התחתונים קיים ושווה לגבול סכומי דרבו דארבו העליונים אזי הפונקציה <math>f </math> '''אינטגרבילית''' בקטע והאינטגרל המסויים המסוים בקטע שווה לגבול סכומי הדרבודארבו.*הגדרה לפי '''רימןרימאן''': אם גבול [[סכום רימן|סכומי רימןרימאן]] קיים אזי <math>f </math> '''אינטגרבילית''' בקטע והאינטגרל המסויים המסוים בקטע שווה לגבול סכומי הרימןרימאן.

הוכח כי הפונקציה הבאה אינה אינטגרבילית בקטע <math>[0,1]</math>:

::<math>D(x)=\begin{cases} 1&x\in\mathbb{Q}\\0&x\notin\mathbb{Q}\end{cases}</math>

''';הוכחה.'''כיוון כיון שבכל [[חלוקה]] ובכל קטע קיימות גם נקודה רציונאלית וגם נקודה אי -רציונאלית, מתקיים לכל קטע:

::<math>m_k=\inf\Big\{D(x)|x_{k-1}\leq le x\leq le x_k\Big\}=0</math>

::<math>M_k=\sup\Big\{D(x)|x_{k-1}\leq le x\leq le x_k\Big\}=1</math>

ולכן וכמו כן '''כל''' [[סכום דרבו|סכום דארבו]] תחתון עליון שווה ::<math>\sum_k0sum_k1\cdot\Delta_k =\sum_k\Delta_k=\Big|[0,1]\Big|=1-0=1</math>

וכמו כן '''כל''' [[שכן סכום דרבו]] עליון שווה::<math>\sum_k1\cdot\Delta_k=\sum_k\Delta_k=|[0,1]|=1אורכי כל תתי-0=1</math>הקטעים של החלוקה, שווה לאורך הקטע כולו.

שכן סכום אורכי כל תתי הקטעים של החלוקהאם כך, שווה לאורך הקטע כולוגבול סכומי דארבו התחתונים הנו <math>0</math> והוא שונה מגבול סכומי דארבו העליונים שהוא <math>1</math>, ולכן הפונקציה '''אינה אינטגרבילית''' בקטע.

אם כך, גבול סכומי דרבו התחתונים הינו אפס והוא שונה מגבול סכומי דרבו העליונים שהוא 1, ולכן ===פונקצית רימאן===הוכח כי הפונקציה '''אינה הבאה אינטגרבילית''' בקטע.<math>[0,1]</math> , וכי מתקיים <math>\displaystyle\int\limits_0^1 R(x)dx=0</math>

:<math>R(x)=\begin{cases} \frac1{q}&x==פונקציה רימן===\frac{p}{q}\\0&x\notin\Q\end{cases}</math>

הוכח כי הפונקציה הבאה אינטגרבילית בקטע כאשר <math>[0,1]\frac{p}{q}</math>, וכי מתקיים הוא '''השבר המצומצם''' של <math>\int_0^1R(x)dx=0</math>.

::;הוכחה.באופן דומה לתרגיל על פונקציית דיריכלה, קל לראות כי גבול סכומי דארבו התחתונים הוא <math>R(x)=\begin{cases} \frac{1}{q}&x=\frac{p}{q}\\0&x\notin\mathbb{Q}\end{cases}</math>. לכן ניתן להוכיח כי גבול סכומי דרבו העליונים גם הוא <math>0</math>.

כאשר יהי <math>\frac{p}{q}epsilon>0</math> הוא . צריך למצוא <math>\delta>0</math> כך ש'''השבר המצומצםלכל''' של x[[חלוקה]] עם [[חלוקה|פרמטר חלוקה]] קטן מ- <math>\delta</math> , מתקיים שמרחק סכום הדארבו העליון שלה מ- <math>0</math> קטן מ- <math>\epsilon</math> .

'''הוכחה.'''באופן דומה לתרגיל על פונקציה דיריכלהכיון שמדובר בפונקציה חיובית, קל לראות כי גבול סכומי הדרבו התחתונים הוא אפס. לכן ניתן והגבול הנו <math>0</math> , צריך להוכיח כי גבול סכומי דרבו העליונים הוא אפס גם כןשלכל חלוקה סכום הדארבו העליון קטן מ- <math>\epsilon</math> .

יהי אפסילון גדול מאפס. צריך למצוא דלתא גדול מאפס כך ש'''כעת נראה כי לכל''' [[חלוקה]] עם [[חלוקה|פרמטר חלוקה]] קטן מדלתאמספר טבעי <math>q</math> מספר הנקודות בקטע בהן <math>R(x)\ge\frac1{q}</math> הוא סופי, מתקיים שמרחק סכום הדרבו העליון שלה מאפס קטן מאפסילוןונסמן מספר זה ב- <math>n_q</math> .

כיוון שמדובר בפונקציה חיוביתאכן, והגבול הינו אפסהנקודות היחידות המקיימות תנאי זה הן <math>1, צריך להוכיח שלכל חלוקה סכום הדרבו העליון קטן מאפסילון\frac12,\frac13,\frac23,\frac14,\frac24,\frac34,\ldots,\frac1{q},\ldots,\frac{q-1}{q}</math> (שימו לב שיתכן שחלק מהשברים הללו אינם מצומצמים ולכן יש אפילו פחות נקודות מאשר ברשימה הזו).

כעת נראה כי לכל מספר טבעי <math>q</math> מספר הנקודות בקטע בהן <math>R(x)\geq\frac{1}{q}</math> הוא סופי, ונסמן מספר זה ב-<math>n_q</math>  אכן, הנקודות היחידות המקיימות תנאי זה הן <math>1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{3}{4},...,\frac{1}{q},...,\frac{q-1}{q}</math> (שימו לב שייתכן שחלק מהשברים הללו אינם מצומצמים ולכן יש אפילו פחות נקודות מאשר ברשימה הזו).  כעת, בהנתן חלוקה P כלשהי, לכל היותר <math>n_q</math> קטעים מכילים נקודות בהן <math>R\geq\frac{1}{q}</math>, ולכן שטח הפונקציה במלבנים המתאימים לחלקים אלה הוא לכל היותר 1 כפול אורך הקטע. בשאר הקטעים, גובה הפונקציה חסום על -ידי <math>\frac{1}frac1{q}</math>.

::<math>\overline{S}(R,P)\leq le\frac{1}frac1{q}\cdot \Big|[0,1]\Big| + n_q\cdot\lambda(P)</math>

::<math>\frac1{q}<\frac{1\epsilon}{q2}</math> ולאחר מכן נבחר <math>\delta</math> כך ש::<math>n_q\delta<\frac{\epsilon}{2}</math>

ולאחר מכן נבחר דלתא כך ש:::וכך קיבלנו את שרצינו. <math>n_q\delta < \frac{\epsilon}{2}blacksquare</math>

וכך קיבלנו את המשל==חישוב האינטגרל המסוים==קיימות מספר שיטות לחישוב האינטגרל המסוים, כשהנפוצה והשימושית ביותר היא שימוש ב[[המשפט היסודי של החדוא|נוסחת ניוטון-לייבניץ]].