אינטגרציה בחלקים

הגדרה

אינטגרציה בחלקים הוא כינוי לנוסחאת האינטגרציה הבאה:

$\int{f'g}=fg-\int{fg'}$

הנוסחא נובעת מיידית מנוסחאת גזירת כפל:

$(fg)'=f'g+g'f$

דוגמאות

א. בדוגמא זו ניתן לראות שאפשר להעלים גורם אחד על ידי גזירתו. ייתכן ונדרש בדוגמאות מסוג זה לבצע את הפעולה מספר פעמים, אך בדוגמא זו הסתפקנו בפעם אחת בלבד.

$\int{xcos(x)}=?$

נסמן $f'=cos(x),g=x$

ולכן $f=sin(x),g'=1$

ולפי נוסחאת אינטגרציה בחלקים מתקיים

$\int{xcos(x)}=xsin(x)-\int{sin(x)}=xsin(x)+cos(x)+C$

ב. בדוגמא הבאה לא ניתן להעלים גורם על ידי גזירה, אולם עדיין ניתן להעזר באינטגרציה בחלקים לפתרון הבעייה.

$\int{e^xcos(x)}=?$

נסמן

$I=\int{e^xcos(x)}$

לכן

$I=e^xcos(x)+\int{e^xsin(x)}=e^xcos(x)+e^xsin(x)-\int{e^xcos(x)}=e^x\Big(sin(x)+cos(x)\Big)-I$

ולכן

$2I=e^x\Big(sin(x)+cos(x)\Big)$

ומכאן יוצא

$\int{e^xcos(x)}=I=\frac{e^x\Big(sin(x)+cos(x)\Big)}{2}+C$

ג. בדוגמא הבאה נראה שניתן להתייחס לכפל בקבוע 1 כנגזרת של הפונקציה x ובכך "להמציא" גורם שיעזור לנו בפתרון הבעייה באמצעות אינטגרציה בחלקים.

$\int{\sqrt{a^2-x^2}}=?$

נסמן $f'=1,g=\sqrt{a^2-x^2}$

ולכן $f=x,g'=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}$

נפעיל את נוסחאת אינטגרציה בחלקים:

$\int{\sqrt{a^2-x^2}}=x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}=$

$=x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2-a^2+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}=$

$=x\sqrt{a^2-x^2}-\int{\sqrt{a^2-x^2}}+a^2\int{\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}}=$

ולכן סה"כ, בדומה לדוגמא הקודמת

$2\int{\sqrt{a^2-x^2}}=x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\int{\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}}$

כאשר את האינטגרל האחרון נלמד בשיטת ההצבה