אינפי 2 תיכוניסטים תש"ע - פיתרון שאלת אתגר על פונקציה מונוטונית

• רוצים להוכיח שפונקציה מונוטונית חייבת להיות רציפה לפחות בנקודה אחת.

• נסתכל על הקטע [a,b]. הפונקציה מוגדרת עליו ולכן $f(a),f(b)$ הם המקסימום והמינימום של הפונקציה בקטע (זוהי פונקציה מונוטונית).

• לפי משפט פונקציה מונוטונית וחסומה בקטע אינטגרבילית בו.

• לפי משפט לבג לפונקציה אינטרגבילית יש לכל היותר קבוצה בת מנייה של נקודות אי רציפות.

• נניח בשלילה שהפונקציה לא רציפה באף נקודה, ולכן נקודות אי הרציפות שלה הן הקטע [a,b] שגדול ממידה אפס בסתירה.