אנליזה מתקדמת למורים תרגול 8

חזרה ל מערכי תרגול.

הומוגנית עם מקדמים קבועים

המד"ר היא מהצורה $y''+by'+cy=0$, ויש לה משוואה אופיינית: $t^2+bt+c=0$. פותרים משוואה זו, ואז יש 3 אפשרויות:

1. דסקרמיננטה חיובית: במקרה זה יש שני פתרונות למשוואה האופיינית $t_1,t_2$, ופיתרון המד"ר הוא: $y=c_1e^{t_1x}+c_2e^{t_2x}$.

2. דסקרמיננטה שלילית: במקרה זה יש שני פתרונות מרוכבים למשוואה האופיינית $z=\alpha+\beta i,\overline{z}=\alpha-\beta i$, ופתרון המד"ר הוא: $y=c_1e^{\alpha x}\cos(\beta x)+c_2e^{\alpha x}\sin(\beta x)$.

3. דסקרמיננטה = $0$: במקרה זה יש פתרון אחד למשוואה האופיינית $t$, ופתרון המד"ר הוא $y=c_1e^{tx}+c_2xe^{tx}$.

תרגילים

נפתור את המד"ר הבאות:

1. $y''-3y'-4y=0$

2. $y''+2y'+4y=0$

3. $y''-6y'+4y=0$

4. $y''-6y'+9y=0$

פתרון

1. המשוואה האופיינית היא $t^2-3t-4=0$ שזה בעצם $(t-4)(t+1)=0$, ונקבל $t_1=4,t_2=-1$ ולכן פתרון המד"ר הוא: $y=c_1e^{4x}+c_2e^{-x}$.

2. המשוואה האופיינית היא $t^2+2t+4=0$, נוסחת השורשים: $t_{1,2}=\frac{-2\pm \sqrt{4-4\cdot 4}}{2}=\frac{-2\pm 2\sqrt{3}i}{2}=-1\pm \sqrt{3}i$. ונקבל שהפתרון הוא: $y=c_1e^{-x}\cos \sqrt{3}x+c_2e^{-x}\sin \sqrt{3}x$.

3. המשוואה האופיינית היא $t^2-6t+4=0$. נוסחת השורשים: $t_{1,2}=\frac{6\pm \sqrt{36-4\cdot 4}}{2}$ וכו'.

4. המשוואה האופיינית היא $(t-3)^2=0$, ולכן הפתרון הוא: $y=c_1e^{3x}+c_2xe^{3x}$.

לא הומוגנית עם מקדמים קבועים

מד"ר מהצורה $y''+ay'+by=f(x)$ פותרים בצורה הבאה: ראשית פותרים את המד"ר כהומוגנית. שנית, מנחשים פתרון פרטי כפי שנלמד במקרים מסויימים, ואז הסכום שלהם הוא פתרון כללי למד"ר. להלן המקרים המסויימים:

מקרה הפולינום

אם $f(x)$ פולינום. ננחש שהפתרון הוא פולינום ריבועי (כי זה מה שתמר מצפה מכם בקורס), ואז נפתור שלוש משוואות בשלושה נעלמים. אם אין פתרון למערכת, מכפלים את הניחוש ב-$x$.

תרגיל

פתרו את המד"ר הבאות:

1. $y''+2y'+2y=x^2+2x+2$

2. $y''+2y'=3x^2$

מקרה האקספוננט

אם $f(x)=ae^{bx}$ אז ננחש פתרון פרטי מהצורה $y=\alpha e^{bx}$, ונפתור מערכת משוואות. גם כאן, אם אין פתרון למערכת (אפשר להבין מראש, אם הפתרון הזה הוא כבר פתרון של ההומוגנית) אז מכפילים את הניחוש ב-$x$.

תרגיל

פתרו את המד"ר הבאות:

1. $y''-9y=5e^{2x}$

2. $y''-9y=5e^{3x}$