אנליזת פורייה ויישומים קיץ תשעב/סיכומים/הרצאות/31.7.12

את נושא הקירוב לווקטורים לא סיימנו בשיעור הקודם ולכן השלמנו זאת ב־אנליזת פורייה ויישומים קיץ תשעב/סיכומים/הרצאות/31.7.12. חלק זה מופיע בסיכום השיעור הקודם ולא בדף הנוכחי.

תהליך גרם־שמידט (Gram-Schmidt)

התהליך מייצר קבוצה אורתוגונלית/אורתונורמלית מקבוצה בת״ל כך שהן פורסות את אותו המרחב.

השלבים, ללא נרמול:

1. $\tilde\mathbf u_1=\mathbf u_1$
2. $\tilde\mathbf u_2=\mathbf u_2-\mbox{proj}_{\tilde\mathbf u_1}(\mathbf u_2)$

... $\tilde\mathbf u_n=\mathbf u_n-\sum_{k=1}^n\mbox{proj}_{\tilde\mathbf u_k}(\mathbf u_n)$

דוגמה

נתון בסיס $B=\{\mathbf x_1,\mathbf x_2,\mathbf x_3\}\subset\mathbb R^3$ כאשר $\mathbf x_1=\begin{pmatrix}1\\2\\3\\0\end{pmatrix},\mathbf x_2=\begin{pmatrix}1\\2\\0\\0\end{pmatrix},\mathbf x_3=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}$. ניצור באמצעותם בסיס אורתוגונלי:{{left|$\begin{align}\mathbf u_1=\mathbf x_1\\\mathbf u_2=\mathbf x_2-\frac{\langle\mathbf x_2,\mathbf u_1\rangle}{\langle\mathbf u_1,\mathbf u_1\rangle}\mathbf u_1=\begin{pmatrix}1\\2\\0\\0\end{pmatrix}-\frac5{14}\begin{pmatrix}1\\2\\3\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9/14\\9/7\\-15/14\\0\end{pmatrix}\\\mathbf u_3=\mathbf x_3-\frac{\langle\mathbf x_3,\mathbf u_1\rangle}{\langle\mathbf u_1,\mathbf u_1\rangle}\mathbf u_1-\frac{\langle\mathbf x_3,\mathbf u_2\rangle}{\langle\mathbf u_2,\mathbf u_2\rangle}\mathbf u_2=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}-\frac1{14}\begin{pmatrix}1\\2\\3\\0\end{pmatrix}-\frac1{70}\begin{pmatrix}9\\18\\-15\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-2\\0\\5\end{pmatrix}\end{align}$. נסים לב שהכפלנו כמה מהווקטורים בסקלר (14,5), מה שכמובן לא פגע באורתונורמליות.

קיבלנו מערכת אורתונורמלית $\left\{\begin{pmatrix}1\\2\\3\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}9\\18\\-15\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}4\\-2\\0\\5\end{pmatrix}\right\}$.

דוגמה נוספת

נתון מרחב פולינומים $P_n[x]$ הנפרש ע״י $B=\left\{1,x,x^2,\dots,x^n\right\}$. נגדיר כפלה פנימית באופן הבא: $\langle p,q\rangle=\int\limits_{-1}^1 p(x)q(x)\mathrm dx$. נעזר בתהליך גרם־שמידט ונמצא מערכת אורתוגונילית:

$\begin{align}p_0(x)=1\\p_1(x)=x-0=x&\langle x,p_0(x)\rangle=\int\limits_{-1}^1x\mathrm dx=0\\p_2(x)=x^2-0-\frac{2/3}2\cdot1=\frac{3x^2-1}3&\langle x^2,p_0\rangle=\frac23,\langle x^2,p_1\rangle=0,\langle p_0,p_0\rangle=2\\p_3(x)=\frac{5x^3-3x}2\\p_4(x)=\frac{35x^4-30x^2+3}8\\\vdots\end{align}$

הערה: בסופו של התהליך מתקבלת סדרה של פולינומים אורתוגונליים הנקראים פולינומי לג׳נדר.

מתקיים $\int\limits_{-1}^1 p_n(x)p_m(x)\mathrm dx=\begin{cases}0,&n\ne m\\\frac2{2n+1},&n=m\end{cases}$. בנוסף, קיימת נוסחה רקורסיבית $\begin{cases}p_0(x)=1,p_1(x)=x\\(k+1)p_{k+1}(x)-(2k+1)xp_k(x)+kp_{k-1}(x)=0\end{cases}$.

פולינומי צ׳ביצב נוצרים מהמכפלה הפנימית $\langle p,q\rangle=\int\limits_{-1}^1\frac{p(x)q(x)}\sqrt{1-x^2}\mathrm dx$:

$\begin{align}T_0(x)=1\\T_1(x)=x\\T_2(x)=2x^2-1\\T_3(x)=4x^3-3x\\T_4(x)=8x^4-8x^2+1\\T_5(x)=16x^5-20x^3+5x\end{align}$

קיימת נוסחת רודריגז: $T_n(x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{(-1)^n(2n-1)!!}\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}\left(1-x^2\right)^{n-\frac12}$. נוסחה רקורסיבית: $\begin{cases}T_0(x)=1,T_1(x)=x\\T_{k+1}(x)-2xT_k(x)+T_{k-1}(x)=0\end{cases}$. מתקיים $\int\limits_{-1}^1\frac{T_n(x)T_m(x)}\sqrt{1-x^2}\mathrm dx=\begin{cases}0,&n\ne m\\\pi,&n=m=0\\\tfrac\pi2,&\text{else}\end{cases}$.

פולינומי לגר (Laguerre) נוצרים מ־$\langle p,q\rangle=\int\limits_0^\infty \mathrm e^{-x}p(x)q(x)\mathrm dx$. נוסחתם הרקורסיבית: $\begin{cases}L_0(x)=1,L_1(x)=-x+1\\(k+1)L_{k+1}(x)-(2k+1-x)L_k(x)+kL_{k-1}(x)=0\end{cases}$

פולינומי הרמיט (Hermite):‏ $\langle p,q\rangle=\int\limits_{-\infty}^\infty\mathrm e^{-x^2}p(x)q(x)\mathrm dx$ ו־$\begin{cases}H_0(x)=1,H_1(x)=2x\\H_{k+1}(x)=2xH_k(x)-2kH_{k-1}(x)\end{cases}$.

הערה: פולינומי לגר והרמיט לא יופיע במבחן.

תרגיל

מצא בסיס אורתונורמלי $\{w_1,w_2,w_3\}$ מהבסיס הבא: $\{1,x,x^2\}$ בקטע $[0,1]$ בקרה של המכפלה הפנימית הסטנדרטית: $\langle p,q\rangle=\int\limits_0^1 p(x)q(x)\mathrm dx$.

פתרון

$\|1\|^2=\int\limits_0^11\mathrm dx=1$ ולכן $w_1(x)=\frac1{\|1\|}=1$.

$u_2(x)=x-\frac{\langle x,1\rangle}{\langle1,1\rangle}\cdot1=x-\int\limits_0^1x\mathrm dx=x-\frac12$. עתה $\left\|x-\frac12\right\|^2=\int\limits_0^1\left(x-\frac12\right)^2\mathrm dx=\frac1{12}$. לכן $w_2(x)=\frac{x-\frac12}{\left\|x-\frac12\right\|}=\sqrt{12}\left(x-\frac12\right)$.

$u_3(x)=x^2-\left\langle x^2,1\right\rangle\cdot1-\left\langle x^2,\sqrt{12}\left(x-\frac12\right)\right\rangle\cdot\sqrt{12}\left(x-\frac12\right)=x^2-x+\frac16$. ננרמל: $\|u_3\|^2=\frac1{180}$ ולכן $w_3(x)=\sqrt{180}\left(x^2-x+\frac16\right)$

תרגיל

מצא קירוב ל־$f(x)=1-x^4$ בעזרת 3 פולינומי לג׳נדר הראשונים בקטע $[-1,1]$.

פתרון

הקירוב מקיים $\tilde f(x)=a_0 P_0(x)+a_1 P_1(x)+a_2 P_2(x)$ כאשר $a_k=\frac{\langle f,P_k\rangle}{\langle P_k,P_k\rangle}=\frac{2k+1}2\langle f,P_k\rangle$. נחשב:

$\begin{align}a_0=\frac12\int\limits_{-1}^1\left(1-x^4\right)\mathrm dx=\frac45\\a_1=\frac32\int\limits_{-1}^1\left(1-x^4\right)x\mathrm dx=0\\a_2=\frac52\int\limits_{-1}^1\left(1-x^4\right)\frac{3x^2-1}2\mathrm dx=-\frac47\end{align}$

לכן $\tilde f(x)=\frac45-\frac47\frac{3x^2-1}2=\frac{38-30x^2}{35}$. $\blacksquare$

תרגיל

מצא קירוב ל־$f(x)=\sqrt{2x+3}$ באמצעות 3 פולינומי לג׳נדר הראשונים בקטע $[0,2]$.

פתרון

דרך א: לחשב את פולינומי לג׳נדר בקטע $[0,2]$ ולפתור כרגיל.

דרך ב: נשתמש בטרנספורמציה לינארית $[0,2]\to[-1,1]$. טרנספורמציה כזאת חייבת לקיים $x\mapsto x-1$. לכן, כאשר $t=x-1$, מספיק לחשב קירוב ל־$g(t)=\sqrt{2t+5}=f(t+1)=f(x)$ ב־$[-1,1]$ ואז נוכל למצוא קירוב ל־$f$ ב־$[0,2]$:

$\begin{align}a_0=\frac12\int\limits_{-1}^11\sqrt{2t+5}\mathrm dt\approx2.2207\\a_1=\frac32\int\limits_{-1}^1 t\sqrt{2t+5}\mathrm dt\approx0.45\\a_2=\frac52\int\limits_{-1}^1\sqrt{2t+5}\frac{3t^2-1}2\mathrm dt\approx0.0314\end{align}$

לכן $\tilde g(t)\approx2.2207+0.45t+0.0314\frac{3t^2-1}2$ נציב $t=x-1$ ולכן $\tilde f(x)\approx2.2207+0.45(x-1)+0.0314\frac{3(x-1)^2-1}2$. $\blacksquare$

הקדמה לשיעור הבא

נדון במכפלה הפנימית $\langle f,g\rangle=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)g(x)\mathrm dx$ ונבדוק שהמערכת הבאה אורתונורמלית $\left\{\frac1\sqrt2,\sin(x),\cos(x),\sin(2x),\cos(2x),\dots\right\}$.