הוכחת משפט אי השלימות השני של גדל

חזרה למשפטי אי השלימות של גדל (Gödel)

הוכחת משפט אי השלימות השני של גדל

נזכר בהוכחת משפט אי השלימות הראשון של גדל. קיים משפט (נסמן אותו G על מנת לכבד את גדל, גדל - כבוד) השקול למשפט "מספר הגדל של G אינו נמצא בקבוצת המשפטים הניתנים להוכחה".

נניח וניתן להוכיח כי התיאוריה הינה עקבית. כלומר, ניתן להוכיח כי התאוריה אינה מכילה סתירה. לכן ניתן להוכיח כי "G לא ניתן להוכחה" (הרי אם הוא היה ניתן להוכחה, היינו מקבלים סתירה). אבל משפט זה שקול ל-G ולכן הוכחנו את G, בסתירה.

מצד שני, אם התאוריה אינה עקבית - כלומר מכילה סתירה, אזי ניתן להוכיח בה כל דבר.