שינויים

או להיפך.

דוגמא: <math>f"(x)=2</math>

<math>a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}-6x+5}{x}=\inftinfty</math>y

הסימן של נשים לב שסימן הנגזרת השניה בנקודה x נקבע ע"ילפי החלק של <math> (72x-4x^{3})(1236-x^{2})^{2}+4x</math><math>f'(12-x^{2}7)x^{2}<0,f'(36-x^{2}6) = x0,f'(12-x^{2}4)[>0,f'(72-4x^{2}1)>0,f'(12-x^{2}0)+4x^{2}=0,f'(361)>0,f'(4)>-x^{2},f'(6)] = x0,f'(12-x^{2}7)[72\cdot12+24x^{2}]<0</math> = 24x(12ולכן מימין ל <math>-6</math> הפונקציה יורדת ומימין ל <math>-x^{2})[36+x^{2}]6</math>היא עולה ולכן <math>-6</math>נקודות מיני'

<math>f"(6)<0,f"(-6)>0</math><math>f"(0)=0</math> ולכן לא ניתן לדעת לפי בדיקה זאת!נקודת מקס

0 אינה נקודת קיצון כי הפונקציה עולה גם מימין ל-0 וגם משמאל ====תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול==== דוגמא: <math>f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}}</math>אזי <math>f'(x)=\frac{3x^{2}(12-x^{2})+2x^{4}}{(12-x^{2})^{2}}=\frac{x^{2}(36-x^{2})}{(12-x^{2})^{2}}</math>

דוגמא: f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}} אזי f'(x)=\frac{3x^{2}(12-x^{2})+2x^{4}}{(12-x^{2})^{2}}=\frac{x^{2}(36-x^{2})}{(12-x^{2})^{2}} ו <math>f"(x)=\frac{24x(12-x^{2})[36+x^{2}]}{(12-x^{2})^{4}}</math>

הנקודות החשודות לפיתלול הם <math>0,\pm\sqrt{12}</math> הסימן של <math>f"(x)</math> נקבע לפי החלק <math>x(12-x^{2})</math>

נבדוק <math>f"(-4)>0,f"(-1)<0,f(0)=0,f(1)>0,f(4)<0</math> . ומכאן מסיקים כי

בקטע <math>(-\infty,-\sqrt{12})</math> הפונצקיה קעורה כלפי מעלה

בקטע <math>(-\sqrt{12},0)</math> הפונצקיה קעורה כלפי מטה

בקטע <math>(0,\sqrt{12})</math> הפונצקיה קעורה כלפי מעלה

בקטע <math>(\sqrt{12},\infty)</math> הפונצקיה קעורה כלפי מטה

יש נקודות פיתול )(כי הנגזרת השניה שלילית עד אליה וחיובית ממנה()

====אסימטוטות ====

הגדרה: אסימטוטה אנכית ל f(x) היא קו מהצורה x=a כך שמתקיים lim_{x\to a}|f(x)|=\infty . דוגמא - <math>f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}}</math> יש 2 אסימטוטות אנכיות ב <math>x=\pm\sqrt{12}</math>

כי <math>lim_{x\to-\sqrt{12}^{+-}}f(x)=lim_{x\to\sqrt{12}^{+-}}f(x)=-\infty</math>

הגדרה: אסימטוטה אופקית היא ישר l(x)<math>a=ax+b המקיים lim_{x\to\infty}|\frac{f(x)-l(}{x)|}=0 או lim_{x\to-\infty}|f(\frac{x^{3}}{x)-l(12-x^{2})|}=0-1</math>

מתקיים a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x} ואז b=lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)  דוגמא: f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}} נמצא אסימטוטות: a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{x(12-x^{2})}=-1  <math>b=lim_{x\to\infty}(\frac{x^{3}}{12-x^{2}}+x)=lim_{x\to\infty}(\frac{12x}{12-x^{2}})=0</math>

באותו אופן גם אסימטוטה לכיוון ולכן <math>l(x\to)=-\infty תצא אותו דבר.x</math> אסימטוטה אופקית לשני הצדדים

ולכן l(x)=-x אסימטוטה אנכית===התנהגות הפונצקיה באינסוף====

התנהגות הפונצקיה באינסוף עבור הדוגמא שלנו <math>lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{12-x^{2}}=-\infty,lim_{x\to-\infty}\frac{x^{3}}{12-x^{2}}=\infty</math>

====ציור הפונקציה====

<math>.1 </math> אם <math>f(x) </math> גזירה בנקודת קיצון x_{0} אזי <math>f'(x_{0})=0</math>

<math>.2 </math> מבחן הנגזרת השניה- אם <math>f'(x_{0})=0 </math> ומתקיים <math>f"(x_{0})>0 )או f"(x)<0/math> ( אז <math>x_{0}</math> נקודות מיני' )או מקס'(

<math>.3 </math> אם <math>f'(x)\leq0</math> בקטע <math>I</math> אזי הפונקציה יורדת שם. אם <math>f'(x)\geq0</math> אז הפונקציה עולה שם

<math>.4 </math> אם <math>f"(x_{0})>0 )f"(x_{0})<0/math> ( אז <math>f(x) </math> קעורה כלפי מעלה )כלפי מטה( ב-<math>x_{0}</math> .מסקנה: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם <math>f"(x) </math> אינה קיימת או ש <math>f"(x)=0</math>