הצגת המקור של מדר קיץ תשעב/סיכומים/הרצאות/6.8.12

== משפט הקיום והיחידות ==
נתון <math>y'=f(x,y)</math> עם תנאי התחלה <math>y(x_0)=y_0</math>

=== שיטת פיקארד ===
מתחילים עם <math>\phi_0(x)=y_0</math> וממשיכים עם <math>\phi_n(x)=y_0+\int\limits_{x_0}^x f\left(t,\phi_{n-1}(t)\right)\mathrm dt</math>. אזי <math>\phi(x)=\lim_{n\to\infty}\phi_{n+1}(x)=y_0+\lim_{n\to\infty}+\int\limits_{x_0}^x f\left(t,\phi_n(t)\right)\mathrm dt</math>.

=== משפט הקיום והיחידות למערכת מד״ר מסדר ראשון בצורה נורמלית ===
תהי <math>\vec f(x,\vec y)</math> פונקציה וקטורית רציפה ומקיימת תנאי ליפשיץ ב־<math>\vec y</math> בתיבה <math>B=[x_0-a,x_0+a]\times\prod_{k=1}^n[y_k-b_k,y_k+b_k]</math>. אזי למערכת המד״ר <math>\vec y'=\vec f(x,\vec y)</math> יש פתרון אחד ויחיד ב־<math>|x-x_0|<a'</math> כאשר <math>\vec y(x_0)=\vec y_0</math> ו־<math>a'=\min\left\{a,\frac{b_1}{M_1},\dots,\frac{b_n}{M_n}\right\}</math>. עתה <math>M_k=\max_{(x,y)\in B}|f_k(x,y)|</math>.

==== הוכחה ====
נגדיר סדרת פונציות <math>\{\vec\phi_m\}_{m=0}^\infty</math> כך ש־<math>\vec\phi_0=\vec y_0</math> ו־<math>\vec\phi_{m+1}(x)=\vec y_0+\int\limits_{x_0}^x f\left(t,\phi_m(t)\right)\mathrm dt</math>. לכל <math>|x-x_0|<a'</math> מתקיים
* הפונקציות <math>\vec\phi_m</math> מוגדרות היטב, כלומר <math>|\phi_{m,k}(x)-y_{0,k}|\le b_k</math>. נוכיח באינדוקציה על <math>m</math>:<br>עבור <math>m=0</math> הטענה טריוויאלית שכן <math>\vec\phi_0(x)=\vec y_0</math>. עתה נניח נכונות עבור <math>m</math>: <math>|\phi_{m+1,k}-y_{0,k}|=\left|\int\limits_{x_0}^x f_k\left(t,\phi_m(t)\right)\mathrm dt\right|\le|x-x_0|\cdot M_k\le a'M_k\le b_k</math>. לכן <math>\vec\phi_m</math> מוגדרת היטב בתיבה וכן רציפה עבור <math>|x-x_0|\le a'</math> עפ״י ההגדרה.
* סדרת הפונקציות <math>\{\vec\phi_m\}_{m=0}^\infty</math> מתכנסת במ״ש ב־<math>|x-x_0|<a'</math>. ניתן לכתוב <math>\phi_{m,k}=\sum_{m=1}^\infty (\phi_{m,k-\phi_{m-1,k})+\phi_{0,k}</math>. הפונקציה <math>\phi_{0,k}</math> קבועה ולכן הטור מתכנס במ״ש אם הסכום מתכנס במ״ש. מתקיים <math>|\phi_{m+1,k}(x)-\phi_{m,k}(x)|=\left|\int\limits_{x_0}^x\Big(f_k(t,\phi_m(t))-f_k(t,\phi_{m-1}(t))\Big)\mathrm dt\right|\le\int\limits_{x_0}^x\Big|f_k(t,\phi_m(t))-f_k(t,\phi_{m-1}(t))\Big|\mathrm dt</math>. נניח <math>x>x_0</math> ונסמן <math>S_m(x)=\sum_{k=1}^n |\phi_{m,k}(x)-\phi_{m-1,k}(x)|</math>. אזי לפי תנאי ליפשיץ <math>|\phi_{m+1,k}(x)-\phi_{m,k}(x)|\le K\int\limits_{x_0}^x S_m(t)\mathrm dt</math>. נסכום על <math>k</math> ואז <math>S_{m+1}(x)\le nK\int\limits_{x_0}^x S_m(t)\mathrm dt</math>. נסמן <math>K_0=nK</math>, <math>H=\max_{k=1}^n M_i, H_0=nH</math>. נוכיח באינדוקציה נוספת שלכל <math>m</math> מתקיים <math>S_m(x)\le H_0K_0^{m-1}\frac{(x-x_0)^m}{m!}</math>. עבור <math>m=1</math> נקבל <math>|\phi_{1,k}(x)-\phi_{0,k}(x)|=\left|\int\limits_{x_0}^x f_k(t,\vec y_0)\mathrm dt\right\le H(x-x_0)</math> ולכן <math>S_1(x)=\sum_{k=1}^n |\phi_{1,k}(x)-\phi_{0,k}(x)|\le nH(x-x_0)=H_0(x-x_0)</math>. נניח נכונות עבור <math>m</math> ואז <math>S_{m+1}(x)\le K_0\int\limits_{x_0}^x S_m(t)\mathrm dt\le K_0\int\limits_{x_0}^x H_0K_0^{m-1}\frac{(t-x_0)^m}{m!}\mathrm dt=H_0K_0^m\frac{(x-x_0)^{n+1}}{(m+1)!}</math>. כלומר <math>S_m(x)=\sum_{k=1}^n|\phi_{m,k}(x)-\phi_{m-1,k}(x)|\le\frac{H_0(K_0a')^m}{K_0m!}</math>. הטור <math>\sum_{m=1}^\infty \frac{K_0a')^m}{m!}</math> מתכנס ל־<math>\mathrm e^{K_0a'}-1</math> ולכן סדרת הפונקציות <math>\{\vec\phi_m\}_{m=0}^\infty</math> מתכנס במ״ש עבור <math>|x-x_0|\le a'</math> לפונקציה <math>\vec\phi</math>.
* <math>\vec\phi</math> פתרון של המד״ר: לפי ההגדרה <math>\vec\phi_m(x)=\vec y_0+\int\limits_{x_0}^x f(t,t\vec\phi_{m-1}(t))\mathrm dt</math>. נשאיף <math>m\to\infty</math> ואז <math>\vec\phi(x)=\vec y_0+\int\limits_{x_0}^x \vec f(t,\vec\phi(t))\mathrm dt</math>. אזי <math>\vec\phi'(x)=\vec f(x,\vec\phi(x))</math> ולכן <math>\vec y=\vec\phi(x)</math> פתרון של המד״ר.


………
''הערה:'' <math>\phi_{m+1}-\phi_m=\int f(t,\vec\phi_m(t))\mathrm dt-\int f(t,\vec\phi_{m-1}(t))\mathrm dt</math> וכן <math>f(t,\vec\phi_m(t))-f(t,\vec\phi_{m-1}(t))\le </math>………

………