שינויים

* ''תזכורת:'' נאמר שפונקציה <math>f</math> מקיימת את תנאי ליפשיץ אם <math>\exists k>0:\ \forall x_1,x_2:\ |f(x_1)-f(x_2)|\le k|x_1-x_2|</math>. פונקציה גזירה היא ליפשיץ אם״ם הנגזרת שלה חסומה.* '''משפט הקיום והיחידות למד״ר מסדר 1 בצורה נורמלית:''' תהי <math>\vec mathbf f(x,\vec mathbf y)</math> פוקנציה וקטורית המקיימת את תנאי ליפשיץ ב־<math>\vec mathbf y</math> בתיבה <math>B=[x_0-a,x_0+a]\times\prod_{k=1}^n[y_{0,k}-b_k,y_{0,k}+b_k]</math>, ונתונים תנאי ההתחלה <math>\vec mathbf y(x_0)=\vec mathbf y_0</math>. אזי למערכת <math>\mathbf y'=\mathbf f(x,\mathbf y)</math> יש פתרון אחד בדיוק בקטע <math>|x-x_0|<\min\!\left(\{a\}\cup\left\{\frac{b_k}{\displaystyle\max_{(x,\vec mathbf y)\in B}|f_k(x,\vec mathbf y)|}:k\in\{1,\dots,n\}\right\}\right)</math>.* כל מד״ר מסדר <math>n</math> שקולה למערכת של <math>n</math> מד״ר מסדר 1: <math>F\!\left(x,y,y',\dots,y^{(n)}\right)=0\iff\begin{cases}y_1=y'\\y_2=y_1'\\\vdots\\y_{n-1}=y_{n-2}'\\F\!\left(x,y,y_1,y_2,\dots,y_{n-1},y_{n-1}'\right)=0\end{cases}</math>. כמו כן, המערכת נורמלית/לינארית/לינארית־הומוגנית בהתאם למד״ר המקורית.

* מד״ר בצורה דיפרנציאלית עם משתנים מופרדים היא מהצורה <math>M_1(x)N_1(y)\mathrm dx+M_2(x)N_2(y)\mathrm dxdy=0</math>. אם <math>\exists y_0:\ N_1(y_0)=0</math> אזי <math>y\equiv0equiv y_0</math> פתרון, ואם <math>\exists x_0:\ M_2(x_0)=0</math> אזי <math>x\equiv0equiv x_0</math> פתרון. אחרת <math>\int\frac{M_1(x)}{M_2(x)}\mathrm dx+\int\frac{N_2(y)}{N_1(y)}\mathrm dy=0</math>.

** {{הערה|הכללה:}} נתונה מד״ר <math>y'=f\!\left(\frac{Ax+By+C}{ax+by+c}\right)</math> . אם <math>\begin{vmatrix}A&B\\a&b\end{vmatrix}\ne0</math> נציב <math>\begin{cases}x=p+\alpha\\y=q+\beta\end{cases}</math> כאשר <math>\begin{pmatrix}A&B\\a&b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}C\\c\end{pmatrix}</math> ונקבל <math>q_p'=g\!\left(\frac qp\right)</math>. אחרת נבחר <math>\lambda=\frac Aa=\frac Bb</math> ונציב <math>z=ax+by</math>.* '''מד״ר הומוגנית:''' נתונה מד״ר <math>y'=f\!\left(\frac yx\right)</math>. אזי נציב <math>z=\frac yx</math> ו־<math>y'=z'x+z</math>.

* '''משוואת ריקרטי:''' מד״ר מהצורה <math>y'+f(x)y^2+g(x)y+h(x)=0</math>. הפתרון הכללי הוא מהצורה <math>y=\frac{ca(x)+b(x)}{cA(x)+B(x)}</math>. אם <math>y(x)=\equiv y_p(x)</math> פתרון אזי <math>y(x)=y_p(x)+\left(\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int(2f(x)y_p(x)+g(x))\mathrm dx}\int\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int(2f(x)y_p(x)+g(x))\mathrm dx}\mathrm dx\right)^{-1}</math> הפתרון הכללי.

* אם <math>F(y,y')=0</math> נציב <math>zp=y'</math> ואז <math>x=\frac yzyp+\int\frac y{zp^2}\mathrm dzdp</math>. בנוסףלחלופין, אם <math>y=\varphi(t)</math> ו־<math>zp=\psi(t)</math> אזי <math>x=\int\frac{\varphi_t'(t)}{\psi(t)}\mathrm dt</math>.* אם <math>F(x,y')=0</math> נציב <math>zp=y'</math> ואז <math>y=zxpx-\int x\mathrm dzdp</math>. בנוסףלחלופין, אם <math>x=\varphi(t)</math> ו־<math>zp=\psi(t)</math> אזי <math>y=\int\varphi_t'(t)\psi(t)\mathrm dt</math>.* '''שיטת פיקארד:''' נתונה בעיית ההתחלה <math>\begin{cases}y'=f(x,y)\\y(x_0)=y_0\end{cases}</math>. נבחר פונקציה <math>\varphi_0</math> שעבורה <math>\varphi_0(x)\equiv y_0</math>, וניצור ממנה את סדרת הפונקציות המקיימת <math>\varphi_n(x)=y_0+\int\limits_{x_0}^x f(t,\varphi_{n-1}(t))\mathrm dt</math>. במידה והסדרה הנ״ל מוגדרת היטב (כלומר, כל האינטגרלים קיימים) , <math>\varphi=\lim_{n\to\infty}\varphi_n</math> היא פתרון של הבעיה.

* '''משוואת לגראנז׳:''' נתונה המד״ר <math>y=x\varphi(y')+\psi(y')</math> עבור <math>\varphi(y')\not\equiv y'</math>. נציב <math>p:=y'</math> ואז <math>p=\varphi(p)+\Big(x\varphi_p'(p)+\psi_p'(p)\Big)\frac{\mathrm dp}{\mathrm dx}</math>. לפיכך הפתרון הכללי הוא <math>x</math> מקיים <math>\begin{cases}x=\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int\frac{\varphi_p'(p)}{p-\varphi(p)}\mathrm dp}\displaystyle\int\frac{\psi_p'(p)}{p-\varphi(p)}\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int\frac{\varphi_p'(p)}{p-\varphi(p)}\mathrm dp}\mathrm dp\\y=x\varphi(p)+\psi(p)\end{cases}</math> או <math>y=p_i x+\varphipsi(pp_i)\equiv p</math> (מקרה זה יש לבדוק בנפרד), ו־לכל <math>yp_i</math> מקיים כך ש־<math>yp_i=x\varphi(p)+\psi(pp_i)</math>.

* בהנתן מד״ר <math>y''=f(x,y')</math> או <math>y''=f(y,y')</math> נציב <math>zp=y'</math> ונקבל <math>zp'=f(x,zp)</math> או <math>zz_ypp_y'=f(y,zp)</math>, בהתאמה. מתקיים <math>x=\int\frac{\mathrm dy}zp=\frac yzyp+\int\frac y{zp^2}\mathrm dzdp</math> ו־<math>y=\int zp\mathrm dx</math>.

=== מד״ר מכל סדר ======= מד״ר לינארית ====

:* '''שיטת הניחוש/הבחירה/המקדמים הנעלמים:''' נניח שהמד״ר לינארית עם מקדמים קבועים וכן <math>f(x)=\mathrm e^{\lambda x}\sum_{k=0}^m b_k x^k</math>, כאשר <math>\lambda</math> קבועה (יכולה להיות גם 0), והריבוי של <math>\lambda</math> בפולינום האופייני הוא <math>d</math> (במידה ו־<math>\lambda</math> לא שורש נאמר <math>d=0</math>). אזי קיים פתרון פרטי מהצורה <math>\mathrm e^{\lambda x}x^d\sum_{k=0}^m B_k x^k</math> כאשר <math>b_m,B_m\ne0</math>. ''הערה:'' אם <math>f(x)=g(x)+h(x)</math> נוכל לפתור עבור <math>g(x),h(x)</math> בנפרד ולסכום את הפתרונות הפרטיים.* '''משוואת אוילר(־לגראנג׳–לגראנג׳)''' היא מד״ר לינארית מהצורה <math>(x-x_0)^ny^{(n)}+\sum_{k=0}^{n-1}a_k (x-x_0)^k y^{(k)}=f(x)</math> עם <math>\forall k:\ a_k=\text{const.}</math>. מציבים <math>x-x_0=\begin{cases}\mathrm e^t,&x>x_0\\-\mathrm e^t,&x<x_0\end{cases}</math> במד״ר ההומוגנית ואז <math>y'=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}\frac{\mathrm dt}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}\frac1{x-x_0},\ y''=\mathrm e^{-2t}\left(\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dt^2}-\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}\right),\ \dots</math>. נקבל משוואה לינארית־הומוגנית עם מקדמים קבועים, וניתן להמשיך לפתור אותה באופן זה. לחלופין, אנו לומדים מכך שאפשר להציב <math>y=(x-x_0)^r</math> במד״ר ההומוגנית ולקבל <math>r^n+\sum_{k=0}^{n-1} b_k r^k=0</math> (משוואה אינדיציאלית). אם השורשים השונים זה מזה הם <math>r_1,\dots,r_m</math> והריבויים שלהם <math>d_1,\dots,d_m</math> בהתאמה אזי הפתרון ההומוגני הכללי הוא <math>y=\sum_{k=1}^m (x-x_0)^{r_k}\sum_{i=0}^{d_k-1}c_{k,i}\ln^i(x-x_0)</math>. אם <math>r_k</math> אינו ממשי ניתן לכתוב <math>r_k=\alpha+\beta\mathrm i</math> ואז, כיוון ש־<math>\overline{r_k}</math> שורש עם אותו ריבוי, נציב נחליף את <math>C_1(x-x_0)^{r_k}+C_2(x-x_0)^{\overline{r_k}}=</math> ב־<math>(x-x_0)^\alpha\Big(c_1\cos(\beta\ln(x-x_0))+c_2\sin(\beta\ln(x-x_0))\Big)</math>.:* אם <math>f(x)=(x-x_0)^\lambda\sum_{k=0}^m b_k \ln^k(x-x_0)</math> כאשר <math>\lambda</math> קבועה (יכולה להיות גם 0), והריבוי של <math>\lambda</math> במשוואה האינדיציאלית הוא <math>d</math> (אם לא שורש <math>d=0</math>). אזי קיים פתרון פרטי מהצורה <math>(x-x_0)^\lambda\ln^d(x-x_0)\sum_{k=0}^m B_k \ln^k(x-x_0)</math> כאשר <math>b_m,B_m\ne0</math>.* '''התמרת לפלס ההפוכה:''' עבור <math>c</math> כך ש־<math>c>\mbox{Re}(s_i)</math> לכל קוטב <math>s_i</math> של <math>g</math>, מתקיים <math>\mathcal L^{-1}[g](t)=\lim_{R\to\infty}\int\limits_{-R}^R \mathrm e^{c+\mathrm ist}g(s)\mathrm ds</math>.* נניח שמקדמי המד״ר קבועים. נפעיל התמרת לפלס על אגפי המד״ר, נבודד את <math>\mathcal L[y]</math> (תוך שימוש בהתמרת הנגזרת ובנוסחאות אחרות) ונמצא את ההתמרה ההפוכה שלה.

===== פתרון מד״ר באמצעות טורי חזקות =====

* '''שיטת פרוביניוס:''' בהנתן <math>a_2(x)y''+a_1(x)y'+a_0(x)y=0</math> נחלק ב־<math>a_2(x)</math>. תהי <math>x_0</math> נקודה סינגולרית של <math>\frac1{a_2(x)}</math>. אם קיימים הגבולות <math>L_kL_1=\lim_{x\to x_0}(x-x_0)^{2-k}\frac{a_ka_1(x)}{a_2(x)}</math> הנקודה נקראת סינגולרית־רגולרית. בקרבת <math>x_0</math> נקבל <math>0,L_2=(x-x_0)^2y''+\fraclim_{a_1(x)}{a_2(x)\to x_0}(x-x_0)y'+^2\frac{a_0(x)}{a_2(x)}y=</math> הנקודה נקראת סינגולרית־רגולרית. בקרבת <math>x_0</math> נקבל <math>(x-x_0)^2y''+(L_1+o(1))(x-x_0)y'+(L_0L_2+o(1))y=0</math>. לפי משפט, אם <math>x_0</math> נקודה סינגולרית־רגולרית אזי קיים פתרון אנליטי למד״ר סביב <math>x_0</math> בצורת בצורת טור פרוביניוס. לכן נפתור עבור נחשב את הפולינום האופייני של המד״ר עם <math>o(1)=0</math>, נציב ע״י הצבת <math>y=(x-x_0)^r</math> ונקבל את הפתרונות בצורת טורים של המד״ר עם , ואם פתרונות הפולינום הם <math>o(1)=0r_1,r_2</math> (אם אזי יש שני פתרונות הפולינום האופייני של המד״ר עם פרטיים בת״ל מהצורה <math>oy_k=(1x-x_0)^{r_k}\sum_{i=0}^\infty b_{k,i}(x-x_0)^i,\quad k\in\{1,2\}</math> הם כאשר <math>r_1,-r_2\not\in\mathbb Z</math> אז ו־<math>y_ky_1=(x-x_0)^{r_kr_1}\sum_{i=0}^\infty b_{k1,i}(x-x_0)^i</math> פתרון פרטי,<math>y_2=y_1\ln(x-x_0)+(x-x_0)^{r_2}\sum_{i=0}^\infty b_{2,i}(x-x_0)^i</math> כאשר <math>r_1-r_2\in\mathbb Z</math> ומתקיים בה״כ <math>r_1\ge r_2</math>. נציב פתרונות אלו אותם במד״ר המקורית ונקבל את מקדמי הטורים.<br>''הערה:'' נאמר ש־<math>f\in o(g)</math> אם <math>\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0</math>. לעתים כותבים "<math>o(1)</math>" לציון איבר הנמצא בקבוצה זו, ולא הקבוצה עצמה.:* '''פונציית גמא:''' <math>\forall x>0:\ \Gamma(x):=\int\limits_0^\infty t^{x-1}\mathrm e^{-t}\mathrm dt</math>. היא מקיימת <math>\Gamma(xּּ+1)=x\Gamma(x)</math> וגם <math>\forall n\in\mathbb N:\ \Gamma(n)=(n-1)!</math>. ניתן להרחיב את ההגדרה לכל <math>x\in\mathbb R\setminus(-\mathbb N\cup\{0\})</math> ע״י <math>\Gamma(x-1)=\frac{\Gamma(x)}{x-1}</math>. ערך חשוב: <math>\Gamma\!\left(\frac12\right)=\sqrt\pi</math>.:* '''פונקציית בסל (מסוג ראשון):''' <math>J_m(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \Gamma(m+1)}{k!\Gamma(m+k+1)}\left(\frac x2\right)^{2k+m}</math> כאשר <math>m</math> היא ''דרגת הפונקציה''.:* '''משוואת בסל:''' <math>x^2y''+xy'+(x^2-m^2)y=0</math>. מתקיים <math>y''+\frac1xy'+\left(1-\frac{m^2}{x^2}\right)=0</math> ולכן <math>\lim x\frac1x=1,\ \lim x^2\left(1-\frac{m^2}{x^2}\right)=-m^2</math>, כלומר 0 סיגולריות־רגולרית. השורשים של הפולינום האופייני הם <math>0\pm m</math> ולכן אם <math>m\not\in\frac12\mathbb Z</math> אז הפתרון הכללי הוא <math>c_1 J_m(x)+c_2 J_{-m}(x)</math> סיגולריות־רגולרית. אחרת הפתרון הכללי הוא <math>c_1J_m(x)+c_2Y_m(x)</math> כאשר <math>Y_m(x)=\lim_{m'\to m}\frac{J_{m'}(x)\cos(\pi m')-J_{-m'}(x)}{\sin(\pi m')}</math> (זו ''פונקציית בסל מסוג שני'').:==== מערכות מד״ר ====* '''פונציית גמאשיטת ההצבה:''' נתונה המערכת <math>\Gammabegin{cases}y_1'=g(xy_1,y_2):=\int\limits_0^y_2'=h(y_1,y_2)\infty t^end{x-1cases}</math>. אזי <math>\mathrm e^frac{-t\mathrm dy_1}{\mathrm dtdy_2}=\frac{g(y_1,y_2)}{h(y_1,y_2)}</math>ולכן ניתן למצוא את <math>y_1</math> כתלות ב־<math>y_2</math> או להפך. את הפתרון נותר להציב במערכת ולפתור שתי מד״ר נפרדות.===== מערכות מד״ר לינאריות מסדר 1 עם מקדמים קבועים =====בפרק זה, אלא אם צוין אחרת, מערכת המד״ר היא מקיימת <math>\Gamma(xּּmathbf y'=\mathbf{Ay}+\mathbf f</math> כאשר <math>\lambda_i</math> הם הע״ע של <math>\mathbf A</math> (<math>i\in\{1,\dots,n\}</math>. ייתכן שחלק מהע״ע שווים), ו־<math>\mathbf v_i</math> הם הו״ע המתאימים להם, כאשר הו״ע של אותו ע״ע הינם בת״ל (באופן שקול, <math>\{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_n\}</math> צריכים לפרוש את <math>\mathbb C^n</math> מעל השדה <math>\mathbb C</math>).* לכל <math>i</math>, <math>\mathbf y=\mathbf v_i\mathrm e^{\lambda_i x}</math> פתרון של המערכת ההומוגנית המתאימה.* ''תזכורת:'' מטריצה <math>\Gammamathbf A</math> לכסינה אם״ם קבוצת הו״ע שלה היא <math>\mathbb C^n</math>, מה שמתקיים אם״ם הריבוי האלגברי של כל ע״ע שווה לריבויו הגיאומטרי. תנאי מספיק (xאך לא הכרחי)לכך הוא שכל הע״ע שונים.* אם המערכת הומוגנית ו־<math>\mathbf A</math> וגם לכסינה אז <math>\forall mathbf y=\sum_{i=1}^nc_i\inmathbf v_i\mathbb Nmathrm e^{\lambda_i x}</math> הוא הפתרון הכללי.* אם <math>\mathbf A</math> לכסינה נסמן ב־<math>\mathbf P</math> מטריצה מלכסנת שלה:<math>\ mathbf P^{-1}\Gammamathbf{AP}=\mbox{diag}(n\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)</math>. נגדיר <math>\mathbf z=\mathbf P^{-1}\mathbf y</math> ולכן <math>\mathbf z'=\mathbf P^{-1}\mathbf y'=\mbox{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)\mathbf z+\mathbf P^{-1}\mathbf f</math>, ונותר לפתור <math>n</math> מד״ר נפרדות ולהציב ב־<math>\mathbf y=\mathbf{Pz}</math>.* אם המערכת הומוגנית ו־<math>\mathbf A</math> לא לכסינה אז הפתרון הכללי מהצורה <math>\mathbf y=\sum_{\lambda_i} \mathrm e^{\lambda_i x}\sum_{j=0}^{d_i-1)!}\mathbf u_{i,j} x^j</math> כאשר <math>\mathbf u_{i,j}</math> וקטורים שניתן לחשב ע״י הצבה במערכת המד״ר ו־<math>d_i</math> הריבוי האלגברי של <math>\lambda_i</math>.:* נניח ש־<math>n=2</math> והמערכת הומוגנית. נסמן <math>\mathbf A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}</math> ולכן <math>\begin{cases}y_1'=a y_1+b y_2\\y_2'=c y_1+d y_2\end{cases}</math> וגם <math>y_2=\frac{y_1'משוואת אוילר:''' -a y_1}b</math>x^2y. לבסוף,{{left|<math>\begin{align}y_1''&=a y_1'+xyb y_2'\\&=a y_1'+b(c y_1+d y_2)\\&=a y_1'+b c y_1+d y_1'-m^2ya d y_1\\&=0(a+d)y_1'+(bc-ad)y_1\end{align}</math>}}ונותר לפתור מד״ר מסדר 2 וכן להציב ב־<math>y_2=\frac{y_1'-a y_1}b</math>.