הבדלים בין גרסאות בדף "מטריצה אוניטרית"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף עם התוכן "==הגדרה== מטריצה <math>A\in\mathbb{C}^{n\times n}</math> נקראת '''אוניטרית''' אם <math>AA^*=I</math> כאשר <math>A^*:=\overline{A^t}</m...")
 
(←‏1)
 
(2 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות)
שורה 13: שורה 13:
  
 
===1===
 
===1===
 +
יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל המרוכבים, יהי B בסיס אורתונורמלי ל V ויהי C בסיס נוסף ל-V.
 +
 +
הוכיחו כי C אורתונורמלי אם"ם מטריצת המעבר בין B ל C אוניטרית.
 +
 +
 +
'''הוכחה'''
 +
 +
ראשית, C אורתונורמלי אם"ם <math>G_C=I</math>.
 +
 +
כעת, לפי נוסחאת המעבר בין מטריצות גראם מתקיים
 +
 +
::<math>G_C=\Big([I]^B_C\Big)^tG_B\overline{[I]^B_C}</math>
 +
 +
אבל B אורתונורמלי ולכן <math>G_B=I</math>
 +
 +
וסה"כ קיבלנו <math>(G_C)^t=\Big([I]^B_C\Big)^*[I]^B_C</math>
 +
 +
והרי <math>[I]^B_C</math> אורתונורמלית אם"ם <math>I=\Big([I]^B_C\Big)^*[I]^B_C=(G_C)^t</math>
 +
 +
אם"ם <math>G_C=I</math> אם"ם C אורתונורמלי
 +
 +
===2===
 +
תהי A מטריצה אוניטרית. הוכיחו כי כל הערכים העצמיים של A הם מאורך 1.
 +
 +
 +
'''פתרון:'''
 +
יהי z ע"ע של A. אזי קיים וקטור <math>v\neq 0</math> כך ש <math>Av=zv</math>.
 +
 +
לכן
 +
 +
::<math>z\overline{z}<v,v>=<zv,zv>=<Av,Av>=(Av)^t\overline{Av}=v^tA^t\overline{Av}=v^t\overline{\overline{A^t}A}\overline{v}=v^t\overline{A^*A}\overline{v}</math>
 +
 +
כעת, כיוון ש A אוניטרית מתקיים <math>A^*A=I</math> ולכן ביחד אנו מקבלים:
 +
 +
::<math>z\overline{z}<v,v>=v^t\overline{v}=<v,v></math>
 +
 +
כיוון שהוקטור שונה מאפס, ניתן לחלק ב<math><v,v></math> על מנת לקבל
 +
 +
::<math>|z|^2=z\overline{z}=1</math>

גרסה אחרונה מ־12:27, 25 בדצמבר 2012

הגדרה

מטריצה A\in\mathbb{C}^{n\times n} נקראת אוניטרית אם AA^*=I כאשר A^*:=\overline{A^t}


משפט

א. A אוניטרית אם"ם A^t אוניטרית.


ב. A אוניטרית אם"ם שורותיה מהוות בסיס אורתונורמלי לפי המכפלה הפנימית הסטנדרטית אם"ם עמודותיה מהוות בסיס אורתונורמלי לפי המכפלה הפנימית הסטנדרטית

תרגילים

1

יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל המרוכבים, יהי B בסיס אורתונורמלי ל V ויהי C בסיס נוסף ל-V.

הוכיחו כי C אורתונורמלי אם"ם מטריצת המעבר בין B ל C אוניטרית.


הוכחה

ראשית, C אורתונורמלי אם"ם G_C=I.

כעת, לפי נוסחאת המעבר בין מטריצות גראם מתקיים

G_C=\Big([I]^B_C\Big)^tG_B\overline{[I]^B_C}

אבל B אורתונורמלי ולכן G_B=I

וסה"כ קיבלנו (G_C)^t=\Big([I]^B_C\Big)^*[I]^B_C

והרי [I]^B_C אורתונורמלית אם"ם I=\Big([I]^B_C\Big)^*[I]^B_C=(G_C)^t

אם"ם G_C=I אם"ם C אורתונורמלי

2

תהי A מטריצה אוניטרית. הוכיחו כי כל הערכים העצמיים של A הם מאורך 1.


פתרון: יהי z ע"ע של A. אזי קיים וקטור v\neq 0 כך ש Av=zv.

לכן

z\overline{z}<v,v>=<zv,zv>=<Av,Av>=(Av)^t\overline{Av}=v^tA^t\overline{Av}=v^t\overline{\overline{A^t}A}\overline{v}=v^t\overline{A^*A}\overline{v}

כעת, כיוון ש A אוניטרית מתקיים A^*A=I ולכן ביחד אנו מקבלים:

z\overline{z}<v,v>=v^t\overline{v}=<v,v>

כיוון שהוקטור שונה מאפס, ניתן לחלק ב<v,v> על מנת לקבל

|z|^2=z\overline{z}=1
מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=מטריצה_אוניטרית&oldid=30361