שינויים

== כמתים ==

ה'''כמתים''', המציינים תחולה של משתנה, הם תוספת חיונית למערך הקשרים שלנו. יש שני כמתים: "לכל", המסומן באות <math>\ \forall</math> (זוהי A הפוכה, קיצור של המלה All); ו"קיים", המסומן באות <math>\ \exists</math> (E הפוכה, קיצור של Exists). כשבונים פסוק עם כמתים, מותר לקחת פסוק קיים (הכולל פרדיקטים, שבהם x הוא משתנה), ולבנות:

גם לאחר ההרחבה הזו, בכל פסוק יש "פעולה אחרונה": הקשר האחרון או הכמת האחרון שהופעל כדי ליצור את הפסוק. לדוגמא:

* הפעולה האחרונה ב- <math>\ \forall x: ((x<y) \rightarrow (x<0))</math> ("לכל x, אם x קטן מ-y אז x שלילי") היא הכמת הכולל על x; לעומת זאת הפעולה האחרונה ב- <math>\ (\forall x: (x<y)) \rightarrow (y<0))</math> ("אם כל x הוא קטן מ-y, אז y שלילי") היא הקשר "אם-אז".

לפסוקים שיש בהם כמתים אי אפשר לבנות טבלאות אמת, משום שלצד האטומים המקבלים רק שני ערכי אמת אפשריים, יש בהם משתנים העשויים לעבור על-פני מספר אינסופי של אפשרויות. לכן הלוגיקה המטפלת בפסוקים עם כמתים (הנקראת "לוגיקה מסדר ראשון") מורכבת יותר מן הלוגיקה הפסוקית, ויש לה יכולת ביטוי רחבה יותר. גם בלוגיקה זו אומרים ששני פסוקים <math>\ \varphi, \psi</math> הם שקולים אם <math>\ \varphi \leftrightarrow \psi</math> מקבל ערך אמת לכל הצבה של המשתנים המעורבים.

אנו מגיעים לנקודה חשובה ביותר הנוגעת לשמות המשתנים. לכל כמת יש אזור תחולה. אם נכתוב למשל <math>\ \forall x : P(x) \rightarrow \exists y : P(y)</math>, אזור התחולה של הכמת הראשון הוא ההופעה הראשונה של P, ואזור התחולה של הכמת השני הוא ההופעה השניה. בתוך אזור התחולה הזה, '''אין כל חשיבות לשם המשתנה''' - אין שום הבדל בין "לכל נורה x יש מתג y כך ש-y מפעיל את x" (הצרן את הפסוק הזה), לבין "לכל נורה z יש מתג y כך ש-y מפעיל את z". לעומת זאת, הפסוק "לכל נורה x יש מתג y כך ש-y מפעיל את z".

הכמתים היסודיים מאפשרים לנסח טענות סטנדרטיות נוספות.