שינויים
/* מטריצות ריבועיות */
==מטריצות ריבועיות==
'''הגדרה''': העקבה (trace) של מטריצה ריבועית הינה סכום איברי האלכסון של המטריצה.
'''תכונות''':
*<math>tr(A+B)=tr(A)+tr(B)</math>
*<math>tr(AB)=tr(BA)</math>
'''הגדרה''': מטריצת היחידה <math>I</math> הינה המטריצה שעל האלכסון שלה יש אחדות, ואפס בכל מקום אחר. לכל מטריצה ריבועית A מתקיים AI=IA=A.
===תרגיל 5.10 וחצי===
===תרגיל 5.11===
א. תהא A מטריצה ממשית כך ש <math>tr(AA^t)=0</math> . הוכח ש-A הינה מטריצת האפס.
ב. תהא A מטריצה מרוכבת כך ש <math>tr(AA^*)=0</math> . הוכח ש-A הינה מטריצת האפס. (<math>A^*:=\overline{A^t}</math>)
====פתרון====
א. נסמן ב <math>R_i(A)</math> את השורה ה-i של המטריצה A וב <math>C_i(A)</math> את העמודה ה-i של המטריצה A. מכיוון שהמטריצה המשוחלפת מתקבלת על ידי החלפת שורות ועמודות של המטריצה המקורית תמיד מתקיים ש <math>[R_i(A)]^t=C_i(A^t)</math> (השחלוף החיצוני הינו על מנת להפוך את וקטור השורה לוקטור עמודה).
כמו כן, נשים לב שבכפל מטריצות מתקיים תמיד <math>[AB]_{ij}=R_i(A)B_jC_j(B)</math>.
נשים לב שבאופן כללי, בהנתן <math>v=(x_1,...,x_n)</math> מתקיים ש <math>vv^t = (x_1)^2+(x_2)^2+...+(x^nx_n)^2</math>.
===מטריצות הפיכות===
'''הגדרה''': מטריצה A נקראת '''הפיכה''' אם קיימת מטריצה B כך ש <math>AB=BA=I</math>. במקרה זה, מטריצה B נקראת '''ההופכית''' של A ומסומנת <math>B=A^{-1}</math>.
'''תכונות''':
*מטריצה הפיכה היא בהכרח ריבועית
*אם A '''ריבועית''' ו<math>AB=I</math> אזי גם <math>AB=BA=I</math> וB הינה ההופכית של A
===תרגיל 6.1 וחצי===
הוכח שאם A הפיכה אזי גם המשוחלפת שלה הפיכה ומתקיים ש <math>(A^t)^{-1}=(A^{-1})^t</math>. הסק שאם A הפיכה וסמטרית אזי גם ההופכית שלה סימטרית.
====פתרון====
אם A הפיכה וסימטרית מתקיים <math>(A^{-1})^t=(A^t)^{-1}=A^{-1}</math> כלומר ההופכית גם סימטרית.
==מטריצות אלמנטריות==
