<math>\forall L: \exists \epsilon >0 :\forall N: \exists n>N: (|a_n-L| >\epsilon)</math>
* "אם יש לסדרה <math>\ a_1,a_2,\dots</math> גבול, אז הוא יחיד".
'''תרגיל'''. הוכח שהטענות הבאות שקולות:
*לכל מספר זוגי יש מספר גדול ממנו k כך ש <math>P(k)</math> הוא אמת
*אין חסם מלעיל לקבוצת המספרים המקיימים את הפרדיקט P
*לכל מספר יש מספר הגדול ממנו המקיים את הפרדיקט P
שימו לב שכל הטענות הללו שקולות לכך שקיימים אינסוף מספרים המקיימים את הפרדיקט P. למעשה הטענות השנייה או השלישית יתאימו כהגדרה לטענה "אינסוף מספרים מקיימים את P"
'''פתרון'''. לפי תרגיל הבית, מספיק להוכיח שכל טענה גוררת את הבאה לה (והאחרונה את הראשונה). דבר ראשון נצרין את הטענות:
*<math>\forall n\in\mathbb{N}:(\exists m\in\mathbb{N}:2m=n)\rightarrow \exists k\in\mathbb{N}:(k>n \and P(k))</math>
*<math>\neg[\exists n\in\mathbb{N}:\forall k\in\mathbb{N}:(k>n \rightarrow \neg P(k))] </math>
*<math>\forall n\in\mathbb{N}:\exists k\in\mathbb{N}:(k>n \and P(k)) </math>
הוכחה:
*נוכיח שהטענה השנייה נגררת מהראשונה. '''נניח בשלילה''' את שלילת הטענה השנייה. כלומר, נניח ש <math>\exists n\in\mathbb{N}:\forall k\in\mathbb{N}:(k>n \rightarrow \neg P(k))</math>
נקצר ברישום, ונוסיף את הפרדיקט <math>C(n)=\exists m\in\mathbb{N}:2m=n</math>. נוסיף את העובדה <math>C(n)\or C(n+1)</math> ונקבל
<math>\exists n\in\mathbb{N}:(C(n)\or C(n+1))\and [\forall k\in\mathbb{N}:(k>n \rightarrow \neg P(k))]</math>
נשתמש בטאוטולוגיה <math>(A \or B) \and C \equiv (A \and C) \or (B \and C)</math> ונקבל
<math>\exists n\in\mathbb{N}:(C(n) \and [\forall k\in\mathbb{N}:(k>n \rightarrow \neg P(k))]) \or (C(n+1) \and [\forall k\in\mathbb{N}:(k>n \rightarrow \neg P(k))]) </math>
אבל יחד עם הטענה הראשונה, אנחנו יכולים לגרור את הטענה הבאה:
<math>\exists n\in\mathbb{N}:(\exists k\in\mathbb{N}:(k>n \and P(k)) \and [\forall k\in\mathbb{N}:(k>n \rightarrow \neg P(k))]) \or \exists k\in\mathbb{N}:(k>n+1 \and P(k)) \and [\forall k\in\mathbb{N}:(k>n \rightarrow \neg P(k))]) </math>
וקל לראות (-: שזו סתירה.
*הטענה השנייה גוררת את השלישית (ולמעשה שקולה לשלישית) על ידי הכנסת השלילה פנימה לפי הכללים שלמדנו.
(שימו לב לשימוש בטאוטולוגיה <math>\neg (A\rightarrow B) \Leftrightarrow (A \and \neg B)</math>)
*הטענה השלישית גוררת את הראשונה בקלות מתוך הטאוטולוגיה <math>(n \in\mathbb{N} \and C(n))\rightarrow n \in\mathbb{N} </math>
'''תרגיל'''. הפונקציה <math>\ f : C \rightarrow \mathbb{R}</math> '''רציפה בנקודה x''' אם לכל <math>\ \epsilon>0</math>, קיים <math>\ \delta>0</math> כך שאם <math>\ |x-y|<\delta</math> (עבור y בקטע) אז <math>\ |f(x)-f(y)|<\epsilon</math>. הפונקציה '''רציפה בקטע C''' אם היא רציפה בכל הנקודות x הנמצאות בקטע. הצרן את הטענות הבאות:
