שינויים
יצירת דף עם התוכן "כל שתי מטריצות <math>A,B\epsilon M_{n}(\mathbb{C})</math> שמקיימות <math>f_{A}(t)=f_{B}(t)=(t-1)^{3}(t-2)^{2}(t-3), m_{A}(t)=m_{B}(t)=(t-1)^{2..."
כל שתי מטריצות <math>A,B\epsilon M_{n}(\mathbb{C})</math> שמקיימות
<math>f_{A}(t)=f_{B}(t)=(t-1)^{3}(t-2)^{2}(t-3), m_{A}(t)=m_{B}(t)=(t-1)^{2}(t-2)(t-3)</math>
הן דומות.
נוכיח כי לשתיהן אותה צורת ג'ורדן, ונקבל כי הנן דומות עקב כך.
קודם כל, מפני שהמטריצות הנן מעל <math>\mathbb{C}</math>, הן מתפרקות לגומרים לינאריים, ולכן סכום הריבויים האלגבריים הינו סדר המטריצה. לכן <math>A,B\epsilon M_{6}(\mathbb{C})</math>
מפני שנשתמש בפולינום האופייני ובפולינום המינימלי בלבד, הדברים שנגיד פה יהיו נוכנים לגבי A,B כאחד. אני אשתמש בA בשביל הנוחות בלבד.
נחשב את מטריצת הגו'רדן של A.
<math>J_{A}=\begin{pmatrix}
J_{A}(1) & & \\
& J_{A}(2) & \\
& & J_{A}(3)
\end{pmatrix}
</math> כאשר <math>J_{A}(x)</math> הינו הבלוק בצורת הג'ורדן של A הכולל את כל הבלוקים של הערך העצמי x.
קל לראות כי הבלוק של 3 הוא מגודל 1 ולכן הוא פשוט המטריצה <math>\begin{pmatrix}
3
\end{pmatrix}</math>. לגבי הע"ע 2, הגודל של הבלוק של כל המטריצות של 2, אך הבלוק הגדול ביותר של 2 הוא מגודל 1. לכן זה <math>\begin{pmatrix}
2 &0 \\
0 & 2
\end{pmatrix}</math> ולגבי 1, הבלוק של כל המטרצות של הערך 1 הוא מגדול 3. אך הבלוק הגדול ביותר של 1 הינו מגודל 2. לכן זה <math>\begin{pmatrix}
1 &1 &0 \\
0 & 1 &0 \\
0 &0 &1
\end{pmatrix}</math>
ובסה"כ נקבל כי <math>J_{A}=\begin{pmatrix}
1 &1 & 0 &0 & 0 &0 \\
0 &1 & 0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &1 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &2 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 & 2 &0 \\
0 & 0 &0 &0 & 0 &3
\end{pmatrix}</math> ומיכון שכל מה שעשינו תקף גם לגבי B, נקבל כי גם <math>J_{B}=\begin{pmatrix}
1 &1 & 0 &0 & 0 &0 \\
0 &1 & 0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &1 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &2 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 & 2 &0 \\
0 & 0 &0 &0 & 0 &3
\end{pmatrix}</math> ובה"כ <math>J_{A}=J_{B}</math>
וקבלנו כי A,B דומות.
<math>f_{A}(t)=f_{B}(t)=(t-1)^{3}(t-2)^{2}(t-3), m_{A}(t)=m_{B}(t)=(t-1)^{2}(t-2)(t-3)</math>
הן דומות.
נוכיח כי לשתיהן אותה צורת ג'ורדן, ונקבל כי הנן דומות עקב כך.
קודם כל, מפני שהמטריצות הנן מעל <math>\mathbb{C}</math>, הן מתפרקות לגומרים לינאריים, ולכן סכום הריבויים האלגבריים הינו סדר המטריצה. לכן <math>A,B\epsilon M_{6}(\mathbb{C})</math>
מפני שנשתמש בפולינום האופייני ובפולינום המינימלי בלבד, הדברים שנגיד פה יהיו נוכנים לגבי A,B כאחד. אני אשתמש בA בשביל הנוחות בלבד.
נחשב את מטריצת הגו'רדן של A.
<math>J_{A}=\begin{pmatrix}
J_{A}(1) & & \\
& J_{A}(2) & \\
& & J_{A}(3)
\end{pmatrix}
</math> כאשר <math>J_{A}(x)</math> הינו הבלוק בצורת הג'ורדן של A הכולל את כל הבלוקים של הערך העצמי x.
קל לראות כי הבלוק של 3 הוא מגודל 1 ולכן הוא פשוט המטריצה <math>\begin{pmatrix}
3
\end{pmatrix}</math>. לגבי הע"ע 2, הגודל של הבלוק של כל המטריצות של 2, אך הבלוק הגדול ביותר של 2 הוא מגודל 1. לכן זה <math>\begin{pmatrix}
2 &0 \\
0 & 2
\end{pmatrix}</math> ולגבי 1, הבלוק של כל המטרצות של הערך 1 הוא מגדול 3. אך הבלוק הגדול ביותר של 1 הינו מגודל 2. לכן זה <math>\begin{pmatrix}
1 &1 &0 \\
0 & 1 &0 \\
0 &0 &1
\end{pmatrix}</math>
ובסה"כ נקבל כי <math>J_{A}=\begin{pmatrix}
1 &1 & 0 &0 & 0 &0 \\
0 &1 & 0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &1 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &2 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 & 2 &0 \\
0 & 0 &0 &0 & 0 &3
\end{pmatrix}</math> ומיכון שכל מה שעשינו תקף גם לגבי B, נקבל כי גם <math>J_{B}=\begin{pmatrix}
1 &1 & 0 &0 & 0 &0 \\
0 &1 & 0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &1 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &2 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 & 2 &0 \\
0 & 0 &0 &0 & 0 &3
\end{pmatrix}</math> ובה"כ <math>J_{A}=J_{B}</math>
וקבלנו כי A,B דומות.
