שינויים
יצירת דף עם התוכן "תהי <math>A=\begin{pmatrix} 0 &0 &1 &0 \\ 0 & 0 &0 & 1\\ 1& 0 &0 &-2 \\ 0& 1 & 2 &0 \end{pmatrix}</math> קבע האם קיימת לA צורת ג'ור..."
תהי <math>A=\begin{pmatrix}
0 &0 &1 &0 \\
0 & 0 &0 & 1\\
1& 0 &0 &-2 \\
0& 1 & 2 &0
\end{pmatrix}</math> קבע האם קיימת לA צורת ג'ורדן, ואם כן מצא אותה ואת המטריצה המג'רדנת.
א. מעל <math>\mathbb{R}</math> ב. מעל <math>\mathbb{C}</math>
א. נחשב את הפולינום האופייני של <math> A</math>: <math>P_{A}(x)=\begin{vmatrix}
x & 0 & -1 & 0\\
0 & x & 0 & -1\\
-1 & 0 & x & 2\\
0 &-1 & -2 & x
\end{vmatrix}=x\begin{vmatrix}
x & 0 &-1 \\
0 & x &2 \\
-1& -2& x
\end{vmatrix}+(-1)\begin{vmatrix}
0 & -1 &0 \\
x & 0 &-1 \\
-1 & -2 & x
\end{vmatrix}=x(x^{3}-(x-4x))- (-1-(-x^{2}))=x^{4}+3x{^2}+1-x^{2}=x^{4}+2x^{2}+1=(x^{2}+1)^2=(x-i)^{2}(x+i)^{2}</math> אך בגלל שאנחנו מעל <math>\mathbb{R}</math> לא ניתן לעשות את השלב האחרון, ונקבל כי הפולינום האופייני אינו מתפרק לגורמים לינארים, ולכן למטריצה אין צורת ג'ורדן. מ.ש.ל.
ב. מעל <math>\mathbb{C}</math> נקבל את אותו פולינום אופייני, אך כאפשר לעשות את השורה האחרונה. נמצא את הפולינום המינימלי של <math>A</math>, ונקבל שהוא שווה לפולינום האופייני, ולכן <math>J_{A}=\begin{pmatrix}
i & 1 & 0 &0 \\
0 & i & 0 & 0\\
0& 0 & -i &1 \\
0& 0 & 0& -i
\end{pmatrix}</math>
את מציאת המטריצה המג'רדנת אני אעשה מחר, צריך ללכת לישון.
0 &0 &1 &0 \\
0 & 0 &0 & 1\\
1& 0 &0 &-2 \\
0& 1 & 2 &0
\end{pmatrix}</math> קבע האם קיימת לA צורת ג'ורדן, ואם כן מצא אותה ואת המטריצה המג'רדנת.
א. מעל <math>\mathbb{R}</math> ב. מעל <math>\mathbb{C}</math>
א. נחשב את הפולינום האופייני של <math> A</math>: <math>P_{A}(x)=\begin{vmatrix}
x & 0 & -1 & 0\\
0 & x & 0 & -1\\
-1 & 0 & x & 2\\
0 &-1 & -2 & x
\end{vmatrix}=x\begin{vmatrix}
x & 0 &-1 \\
0 & x &2 \\
-1& -2& x
\end{vmatrix}+(-1)\begin{vmatrix}
0 & -1 &0 \\
x & 0 &-1 \\
-1 & -2 & x
\end{vmatrix}=x(x^{3}-(x-4x))- (-1-(-x^{2}))=x^{4}+3x{^2}+1-x^{2}=x^{4}+2x^{2}+1=(x^{2}+1)^2=(x-i)^{2}(x+i)^{2}</math> אך בגלל שאנחנו מעל <math>\mathbb{R}</math> לא ניתן לעשות את השלב האחרון, ונקבל כי הפולינום האופייני אינו מתפרק לגורמים לינארים, ולכן למטריצה אין צורת ג'ורדן. מ.ש.ל.
ב. מעל <math>\mathbb{C}</math> נקבל את אותו פולינום אופייני, אך כאפשר לעשות את השורה האחרונה. נמצא את הפולינום המינימלי של <math>A</math>, ונקבל שהוא שווה לפולינום האופייני, ולכן <math>J_{A}=\begin{pmatrix}
i & 1 & 0 &0 \\
0 & i & 0 & 0\\
0& 0 & -i &1 \\
0& 0 & 0& -i
\end{pmatrix}</math>
את מציאת המטריצה המג'רדנת אני אעשה מחר, צריך ללכת לישון.
