שינויים
/* בהוכחת 3.5 */
::אצל שיין. זאת ההוכחה לאקסיומה ה-15 של הממשיים. (לפי הבנייה של סדרות קושי.)
:::un ו ln שקולות, לכן, ההפרש ביניהם אפסי, ובפרט, עבור n גדול מספיק,נניח החל מ N1, ההפרש קטן מאפילון חצאים (שיין :) )
:::<math>
u_n-l_n<eps/2
</math>
<math>
un<ln+eps/2<ln+eps
</math>
לכן, עבור n גדול שווה ל N1, בפרט N1 עצמו, המספר הממשי
uN1 קטן מהמספר הממשי S+eps [זה נכון כי ln מונוטונית עולה]
נניח בשלילה ש החל מ N, הסדרה un אינה משתנה, אז קל לראות שמתקיימת ההגדרה של חסם עליון לערך הקבוע של un, (כי bn מתקדם לעבר un, ובסופו של דבר, עובר כל מומעד לחסם מלעיל, ושולל אותו)
לכן, הסדרה כן משתנה, נניח ב N2+1
עכשיו, כי un מונוטונית, ההפרש בין UN2 לבין כל un שבא אחריו, הוא לפחות הקפיצה המדוברת, נסמנה k
נסתכל על סדרת קושי ששייכת ל S, שזהה ל un, אלא ש כל האיברים, עד uN2 כולל, שווים ל u(N2+1)
כעת, קל לראות לפי הגדרת הסדר בממשיים, הסדרה שהרגע הגדרתי, והסדרה הקבועה uN2 ש S קטן מ המספר הממשי uN2
טוב נו..נגיד שבחלק שהנחנו ש un לא משתנה, הנחנו שהיא לא משתנה עבור n גדול מ N1
עכשיו קיבלנו uN כלשהו, מספיק גדול, שמקיים את העובדה
S<uN<S+eps
ההוכחה עם החסם מלעיל הכי קטן דומה במש
אז כן, זה לא היה טריוויאלי כמו ששיין כתב את זה, במיוחד לא כי אנחנו עובדים בעולם חדש ולא מוכר לנו, הממשיים, אבל זה נכון
== טורים ==
