שינויים
יצירת דף עם התוכן "פתרון הבוחן: שאלה 1: נתון כי <math>A = \begin{bmatrix} 1 & a &b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} </math>. ו <math>B = \begin{bmatrix} ..."
פתרון הבוחן:
שאלה 1:
נתון כי <math>A = \begin{bmatrix} 1 & a &b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} </math>.
ו <math>B = \begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ d & 2 & 0 \\ e & f & 3 \end{bmatrix} </math>.
צריך למצוא מטריצות אלמנטריות <math>E_1 , E_2 ,\ldots , E_k</math>. כך ש <math>E_1 \cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_k A =B </math>.
מדרגים את מטריצה <math>A</math> למטריצה <math>B</math>.
<math>\begin{bmatrix} 1 & a &b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \overset{R_2 = R_2 - cR_3} {\rightarrow} \begin{bmatrix} 1 & a &b \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \overset{R_1 = R_1 - bR_3} {\rightarrow} \begin{bmatrix} 1 & a &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\overset{R_1 = R_1 - aR_2} {\rightarrow}
\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\overset{R_3 = 3R_3} {\rightarrow}
\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}
\overset{R_3 = R_3 + eR_1} {\rightarrow}
\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ e & 0 & 3 \end{bmatrix}
</math>
<math>
\overset{R_3 = R_3 + fR_2} {\rightarrow}
\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ e & f & 3 \end{bmatrix}
\overset{R_2 = 2R_2} {\rightarrow}
\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 2 & 0 \\ e & f & 3 \end{bmatrix}
\overset{R_2 = R_2 + dR_1} {\rightarrow}
\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ d & 2 & 0 \\ e & f & 3 \end{bmatrix}
</math>
לכן מטריצות אלמנטריות מתאימות הן
<math>
E_8=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & -c \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
E_7=\begin{bmatrix} 1 & 0 &-b \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
E_6=\begin{bmatrix} 1 & -a &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
E_5=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}
E_4=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ e & 0 & 1 \end{bmatrix}
E_3=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & f & 1 \end{bmatrix}
E_2=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
E_1=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ d & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
</math>
ומתקיים <math>E_1 \cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_8 A=B</math>.
(זאת לא התשובה היחידה הנכונה, אבל זאת אחת הפשוטות)
שאלה 2:
נתונה מערכת המיוצגת על ידי המטריצה
<math>\begin{bmatrix} 1 & a_1 & a_2 & 0 & a_3 & | & 0 \\ a_4 & 0 & a_5 & 2 & a_6 & | & 0 \\ a_7 & 0 & a_8 & 0 & a_9 & | & 0
\end{bmatrix}</math>
סעיף א) אם המטריצה מדורגת זה אומר ש <math>a_4 = a_7 = 0</math> כי שתיהם נמצאים מתחת לאיבר מוביל של השורה הראשונה.
בנוסף אפשר לראות ש <math>a_8=0</math>. הוכחה: נניח בשלילה ש <math>a_8 \neq 0</math>.
אם <math>a_5 \neq 0</math> הוא נמצא מתחת לאיבר מוביל של השורה השניה.
אם <math>a_5 = 0</math> הוא יהיה איבר מוביל משמאל לאיבר המוביל של השורה השניה.
לכן <math>a_8=0</math>.
לגבי שאר הפרמטרים, כל בחירה שהיא שלהם תשאיר את המטריצה מדורגת ולכן לא ניתן לדעת מהם.
סעיף ב) אם <math>A</math> מדורגת קנונית אז <math>2</math> לא יכול להיות איבר מוביל של השורה השניה.
לכן, <math>a_5 \neq 0</math> כלומר הוא איבר מוביל ולכן <math>a_5 = 1</math>.
בנוסף <math>a_2 = 0</math> כי הוא מעל האיבר המוביל של השורה השניה.
את הפרמטר <math>a_1</math> אי אפשר לקבוע.
גם את הפרמטרים <math>a_3,a_6,a_9</math> לא ניתן עדיין לקבוע בוודאות. כי יכול להיות ש <math>a_9=0</math> ואז <math>a_3,a_6</math> יכולים להיות כל מספר שהוא.
ויכול להיות ש <math>a_9=1</math> (ואז <math>a_3=a_6=0</math>).
סעיף ג) אם נתון שיש שני משתנים חופשיים, אז יש שלושה איברים מובילים ולכן
<math>a_9=1</math> ולכן <math>a_3=a_6=0</math> כי הם מעל איבר מוביל של השורה השלישית.
את <math>a_1</math> עדיין לא ניתן לקבוע.
לכן קיבלנו
<math>\begin{bmatrix} 1 & a_1 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & 0
\end{bmatrix}</math>
סעיף ד) פתרון פשוט של המערכת מוביל ל
<math>x_5 = 0</math>
<math>\quad</math>
<math>x_4 = t</math>
<math>\quad</math>
<math>x_3=-2t</math>
<math>\quad</math>
<math>x_2 = s</math>
<math>\quad</math>
<math>x_1 = -a_1s</math>
כלומר
<math>(-a_1s,s,-2t,t,0)</math>.
שאלה 3:
א) <math>V = \mathbb{R}_3[x]</math> ו <math>U = \{p\in \mathbb{R}_3[x] \mid p(0)=p(1)\}</math>
נוכיח ש <math>U</math> תת מרחב לפי הקריטריון המקוצר.
ראשית <math>U \neq \emptyset</math> כי פולינום האפס נמצא בו.
שנית, אם <math>p_1,p_2 \in U</math> אז
<math>(p_1+p_2)(0) = p_1(0)+p_2(0)=p_1(1)+p_2(1)=(p_1+p_2)(1)</math>
ואם <math>p\in U</math> ו <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> אז
<math>(\alpha p)(0) = \alpha p(0) = \alpha p(1) = (\alpha p)(1)</math>.
לכן <math>U</math> תת מרחב של <math>V</math>.
מציאת בסיס ומימד:
שאלה 1:
נתון כי <math>A = \begin{bmatrix} 1 & a &b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} </math>.
ו <math>B = \begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ d & 2 & 0 \\ e & f & 3 \end{bmatrix} </math>.
צריך למצוא מטריצות אלמנטריות <math>E_1 , E_2 ,\ldots , E_k</math>. כך ש <math>E_1 \cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_k A =B </math>.
מדרגים את מטריצה <math>A</math> למטריצה <math>B</math>.
<math>\begin{bmatrix} 1 & a &b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \overset{R_2 = R_2 - cR_3} {\rightarrow} \begin{bmatrix} 1 & a &b \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \overset{R_1 = R_1 - bR_3} {\rightarrow} \begin{bmatrix} 1 & a &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\overset{R_1 = R_1 - aR_2} {\rightarrow}
\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\overset{R_3 = 3R_3} {\rightarrow}
\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}
\overset{R_3 = R_3 + eR_1} {\rightarrow}
\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ e & 0 & 3 \end{bmatrix}
</math>
<math>
\overset{R_3 = R_3 + fR_2} {\rightarrow}
\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ e & f & 3 \end{bmatrix}
\overset{R_2 = 2R_2} {\rightarrow}
\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 2 & 0 \\ e & f & 3 \end{bmatrix}
\overset{R_2 = R_2 + dR_1} {\rightarrow}
\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ d & 2 & 0 \\ e & f & 3 \end{bmatrix}
</math>
לכן מטריצות אלמנטריות מתאימות הן
<math>
E_8=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & -c \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
E_7=\begin{bmatrix} 1 & 0 &-b \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
E_6=\begin{bmatrix} 1 & -a &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
E_5=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}
E_4=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ e & 0 & 1 \end{bmatrix}
E_3=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & f & 1 \end{bmatrix}
E_2=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
E_1=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ d & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
</math>
ומתקיים <math>E_1 \cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_8 A=B</math>.
(זאת לא התשובה היחידה הנכונה, אבל זאת אחת הפשוטות)
שאלה 2:
נתונה מערכת המיוצגת על ידי המטריצה
<math>\begin{bmatrix} 1 & a_1 & a_2 & 0 & a_3 & | & 0 \\ a_4 & 0 & a_5 & 2 & a_6 & | & 0 \\ a_7 & 0 & a_8 & 0 & a_9 & | & 0
\end{bmatrix}</math>
סעיף א) אם המטריצה מדורגת זה אומר ש <math>a_4 = a_7 = 0</math> כי שתיהם נמצאים מתחת לאיבר מוביל של השורה הראשונה.
בנוסף אפשר לראות ש <math>a_8=0</math>. הוכחה: נניח בשלילה ש <math>a_8 \neq 0</math>.
אם <math>a_5 \neq 0</math> הוא נמצא מתחת לאיבר מוביל של השורה השניה.
אם <math>a_5 = 0</math> הוא יהיה איבר מוביל משמאל לאיבר המוביל של השורה השניה.
לכן <math>a_8=0</math>.
לגבי שאר הפרמטרים, כל בחירה שהיא שלהם תשאיר את המטריצה מדורגת ולכן לא ניתן לדעת מהם.
סעיף ב) אם <math>A</math> מדורגת קנונית אז <math>2</math> לא יכול להיות איבר מוביל של השורה השניה.
לכן, <math>a_5 \neq 0</math> כלומר הוא איבר מוביל ולכן <math>a_5 = 1</math>.
בנוסף <math>a_2 = 0</math> כי הוא מעל האיבר המוביל של השורה השניה.
את הפרמטר <math>a_1</math> אי אפשר לקבוע.
גם את הפרמטרים <math>a_3,a_6,a_9</math> לא ניתן עדיין לקבוע בוודאות. כי יכול להיות ש <math>a_9=0</math> ואז <math>a_3,a_6</math> יכולים להיות כל מספר שהוא.
ויכול להיות ש <math>a_9=1</math> (ואז <math>a_3=a_6=0</math>).
סעיף ג) אם נתון שיש שני משתנים חופשיים, אז יש שלושה איברים מובילים ולכן
<math>a_9=1</math> ולכן <math>a_3=a_6=0</math> כי הם מעל איבר מוביל של השורה השלישית.
את <math>a_1</math> עדיין לא ניתן לקבוע.
לכן קיבלנו
<math>\begin{bmatrix} 1 & a_1 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & 0
\end{bmatrix}</math>
סעיף ד) פתרון פשוט של המערכת מוביל ל
<math>x_5 = 0</math>
<math>\quad</math>
<math>x_4 = t</math>
<math>\quad</math>
<math>x_3=-2t</math>
<math>\quad</math>
<math>x_2 = s</math>
<math>\quad</math>
<math>x_1 = -a_1s</math>
כלומר
<math>(-a_1s,s,-2t,t,0)</math>.
שאלה 3:
א) <math>V = \mathbb{R}_3[x]</math> ו <math>U = \{p\in \mathbb{R}_3[x] \mid p(0)=p(1)\}</math>
נוכיח ש <math>U</math> תת מרחב לפי הקריטריון המקוצר.
ראשית <math>U \neq \emptyset</math> כי פולינום האפס נמצא בו.
שנית, אם <math>p_1,p_2 \in U</math> אז
<math>(p_1+p_2)(0) = p_1(0)+p_2(0)=p_1(1)+p_2(1)=(p_1+p_2)(1)</math>
ואם <math>p\in U</math> ו <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> אז
<math>(\alpha p)(0) = \alpha p(0) = \alpha p(1) = (\alpha p)(1)</math>.
לכן <math>U</math> תת מרחב של <math>V</math>.
מציאת בסיס ומימד:
