שינויים
\textbfbegin{משפט:thm} )[משפט קאלי-המילטון, notlimaHCayley-yelyaC(Hamilton]
$p_A\left(A\right)=0$.
\end{thm}
\underline{תזכורת:}
בהוכחת המשפט ניעזר במושג מהקורס לינארית 1: המטריצה הנלווית הקלאסית הינה $\left [\operatorname{adj } A \right ]_{ij}=\left(-1 \right )^{i+j}\det M_{ji}$, כאשר $M_{ji}$ הוא המינור ה-$ji$ - מורידים מהמטריצה $A$ את השורה ה-$j$ ואת העמודה ה-$i$.
אחד המשפטים החשובים לגבי המטריצה הנלווית הינו $A\cdot adjA\operatorname{adj}A=\det\left(A \right )\cdot I$.
\textitbegin{הוכחה:proof}
תהי $A\in M_n\left(\mathbb{F}\right)$. נתבונן במטריצה $xI_n-A$. לפי התזכורת הנ"ל, מתקיים
$$\left (xI_n-A \right )\cdot \operatorname{adj}\left (xI_n-A \right )=\det\left(xI_n-A \right )\cdot I$$
נציג את הביטוי באגף שמאל בצורה הבאה:
$$\operatorname{adj}\left (xI-A \right )=B_0+B_1x+\cdots+B_nx^n$.$
נשים לב שלפי הגדרת המטריצה הנלווית, כל הדטרמיננטות הן של מטריצות מגודל $\left(n-1\right)\times\left(n-1\right)$. אם כן, $B_n=0$; החזקה הגבוהה ביותר ש-$x$ יופיע בה היא $n-1$.
נחזור למשוואה. נקבל
$$\left ( xI-A \right )\left (B_0+B_1x+\cdots+B_nx^n \right )=\det\left(xI-A \right )\cdot I$.$
נסמן $p_A\left(x \right )=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$. נתבונן במקדמים בכל אגף:
\begin{tabular}{ c | c | c | c | c | c | c }
$x^0$ & $x^1$ & $x^2$ & $\cdots$ & $x^{n-1}$ & $x^n$ \\ \hline
$-AB_0$ & $B_0-AB_1$ & $B_1-AB_2$ & $\cdots$ & $B_{n-2}-AB_{n-1}$ & $B_{n-1}$ & לאמששמאל\\$a_0I$ & $a_1I$ & $a_2I$ & $\cdots$ & $a_{n-1}I$ & $I$ & ןימיימין
\end{tabular}
\end{tabular}
נשים לב כי אם נסכום את השורות, יהיה שוויון. הסכום של השורה העליונה )(אגף שמאל( ) מתאפס, ואילו הסכום של השורה התחתונה )(אגף ימין( ) הינו $p_A\left(A\right)$.
בסך הכל, $p_A\left(A\right)=0$.
\underlineend{הערה:proof}
\begin{remark} לכאורה, ניתן להוכיח את המשפט באופן הבא: נסתכל על $p_A\left(x \right )=\det\left(xI-A\right)$, ונציב $A$. נקבל $$p_A\left(A \right )=\det\left(AI-A\right)=\det\left(0 \right )=0$. $נציג שני נימוקים שבגללם הוכחה זו נכשלת.
הנימוק האחד הוא שהמטריצה $xI$ אינה סתם הכפלה של $I$ בסקלר; היא מסמלת מטריצה שעל האלכסון הראשי שלה מופיע $x$, ובשאר המקומות אפס. אם כן, הצבת $A$ במקום $x$ תאמר שהמטריצה $AI$ מסמלת מטריצה שבה $A$ על האלכסון בבלוקים ובשאר אפסים? החיסור לא יוגדר!
הנימוק השני הוא טכני - כפי שהוגדר, כשמציבים מטריצה בפולינום, מתקבלת מטריצה. עם זאת, בשיטה זו קיבלנו מספר...
\end{remark}
משתמש אלמוני
