שינויים

צריך להוכיח $T^*\left(\alpha w_1+\beta w_2 \right )=\alpha T^*\left(w_1 \right )+\beta T^*\left(w_2 \right )$. ניקח $v\in V$ וקטור כלשהו. נשים לב כי:

$$\left \langle v,T^*\left(\alpha w_1+\beta w_2 \right ) \right \rangle=\left \langle T\left(v \right ),\alpha w_1+\beta w_2 \right \rangle=\overline{\alpha}\left \langle T\left(v \right ),w_1 \right \rangle+\overline{\beta}\left \langle T\left(v \right ),w_2 \right \rangle=$$

$$=\overline{\alpha}\left \langle v,T^*\left(w_1 \right ) \right \rangle+\overline{\beta}\left \langle v,T^*\left(w_2 \right ) \right \rangle=\left \langle v,\alpha T^*\left(w_1 \right )+\beta T^*\left(w_2 \right ) \right \rangle$$

לכן לכל $v\in V$ מתקיים $\left \langle v,T^*\left(\alpha w_1+\beta w_2 \right )-\alpha T^*\left(w_1 \right )+\beta T^*\left(w_2 \right ) \right \rangle=0$.