שינויים
===פתרון===
<math>\int\frac{\arctan(e^{x})}{e^{x}}dx=\int\arctan(e^{x})e^{-x}dx=\begin{Bmatrix}du=e^{-x}dx\Rightarrow u=-e^{-x}\\ v=\arctan(e^{x})\Rightarrow dv=\frac{e^xdxx}{1+e^{2x}}dx\end{Bmatrix}=-e^{-x}\arctan(e^x)+\int\frac{dx}{1+e^{2x}}</math>
פתאום זה נראה יותר אנושי, כעת נסתכל על האינטגרל שנותר:
==8==
אחד קליל מהחוברת של בועז (:,
<math>\int \frac{dx}{x}\ln\left(\frac{1}{x}\right)}{x}dx</math>
===פתרון===
נעזר באינטגרציה בחלקים:
<math>\int begin{Bmatrix}u=-\ln(x)\\dv=\frac{dx1}{x}\end{Bmatrix}\qquad\int\frac{\ln\left(\frac{1}{x}\right)}{x}dx={\color{blue}-\int \frac{lnx\ln(x)}{x}dx= -\frac{ln^{2}(x)+\int\frac{\ln(x)}{2x}dx}+c</math>
<math>-2\int \frac{arcsinx\ln(x)}{x^{2}}dx=-\ln^2(x)</math>
==9==<math>\int \frac{arcsinx\arcsin(x)}{x^2}dx</math> ===פתרון===ראשית נפעיל אינטגרציה בחלקים כאשר: <math>v=\arcsin(x)\ ,\ du=\dfrac{dx}{x^2}</math> <math>\int\frac{\arcsin(x)}{x^2}dx=-\frac{arcsinx\arcsin(x)}{x}+\int \frac{dx}{x\sqrt{1-x^{2}}}</math>
<math>\int x^2\sqrt{a^2-x^2}dx</math>
==11==
<math>\int x^2\sqrt{a^2+x^2}dx</math>
הצבה היפרבולית <math>x=asinha\sinh(t)</math>.
[http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function נוסחאות לפונקציות היפרבוליות]