שינויים
יצירת דף עם התוכן "{{הערה|את ההוכחה למשפט 11 לא סיימנו בהרצאה הקודמת, ולכן עשינו אותו ב-1.3.11. מסיבה זאת [[משתמש:או..."
{{הערה|את ההוכחה למשפט 11 לא סיימנו בהרצאה הקודמת, ולכן עשינו אותו ב-1.3.11. מסיבה זאת [[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/27.2.11#משפט 11 (תכונות האינטגרל)|חלק זה]] מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף זה.}}
=האינטגרל לפי רימן {{הערה|(המשך)}}=
==משפט 12 {{הערה|(המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי)}}==
תהי f מוגדרת ואינטגרבילית בקטע <math>[a,b]</math>.
# לכל <math>x\in[a,b]</math> נגדיר <math>A(x)=\int\limits_a^x f</math>. אזי A מוגדרת היטב ורציפה ב-<math>[a,b]</math> ולכל <math>x_0\in[a,b]</math> שבה f רציפה A גזירה כך ש-<math>A'(x_0)=f(x_0)</math>.
# נוסחת ניוטון-לייבניץ: נניח ש-f רציפה בכל הקטע <math>[a,b]</math>. אם F קדומה ל-f אז <math>\int\limits_a^b f=[F(x)]_{x=a}^b=F(b)-F(a)</math>.
===הוכחה===
# כיוון ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> משפט 9 נותן שלכל <math>x\in[a,b]</math> f אינטגרבילית בקטע <math>[a,x_0]</math> ולכן <math>A(x)=\int\limits_a^x f</math> מוגדרת היטב. נוכיח ש-A רציפה ע"י זה שהיא מקיימת את תנאי ליפשיץ. ובכן f אינטגרבילית ובפרט היא חסומה: <math>|f(x)|\le M</math> לכל <math>x\in[a,b]</math>. כעת אם <math>x,y\in[a,b]</math> אז <math>|A(y)-A(x)|=\left|\int\limits_a^y f-\int\limits_a^x f\right|=\left|\int\limits_x^y f\right|\le M|y-x|</math> ונובע ש-A רציפה. כעת נניח ש-f רציפה בנקודה <math>x_0\in[a,b]</math>. ר"ל A גזירה שם. ובכן <math>A(x_0+\Delta x)-A(x_0)=\int\limits_a^{x_0+\Delta x} f-\int\limits_a^{x_0} f=\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x} f</math> ולכן <math>\frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}=\frac1{\Delta x}\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f</math>. נעיר ש-<math>\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x} f(x_0)=f(x_0)\Delta x</math> (כי <math>f(x_0)</math> פונקציה קבועה). לכן <math>f(x_0)=\frac1{\Delta x}\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(x_0)</math>. מכאן ש-<math>\frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}-f(x_0)=\frac1{\Delta x}\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}\Big(f(t)-f(x_0)\Big)\mathrm dt</math>. נותר להוכיח שכאשר <math>\Delta x\to0</math> אגף ימין (ולכן אגף שמאל) שואף ל-0. לצורך זה יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. כיוון ש-f רציפה ב-<math>x_0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>|t-x_0|<\delta</math> אז <math>|f(t)-f(x_0)|<\varepsilon</math>. כעת נניח ש-<math>|\Delta x|<\delta</math>. אם כן האינטגרל באגף ימין הוא על קטע בין <math>x_0</math> ל-<math>x_0+\Delta x</math> ולכן כל t בקטע זה מקיים <math>|t-x_0|<\Delta x</math>. נובע שלכל t בקטע <math>|f(t)-f(x_0)|<\varepsilon</math>. יוצא שאם <math>|\Delta x|\le\delta</math> אז <math>\left|\frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}-f(x_0)\right|=\left|\frac1{\Delta x}\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}(f(t)-f(x_0))\mathrm dt\right|<\frac1{|\Delta x|}|\Delta x|\varepsilon</math>. הדבר אפשרי לכל <math>\varepsilon>0</math>, לכן <math>\lim_{\Delta x\to0}\frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}-f(x_0)=0</math> ז"א <math>A'(x_0)</math> קיים ושווה ל-<math>f(x_0)</math>. {{משל}}
# נתון ש-f רציפה בכל <math>[a,b]</math>. לפי החלק הקודם <math>\forall x\in[a,b]:\ A'(x)=f(x)</math>, כלומר A קדומה ל-f ב-<math>[a,b]</math>. קיים קבוע c כך ש-<math>F(x)=A(x)+c</math> לכל <math>x\in[a,b]</math>. מכאן ש-<math>F(b)-F(a)=A(b)+c-\Big(A(a)+c\Big)=A(b)-A(a)=\int\limits_a^b f-\int\limits_a^a f=\int\limits_a^b f</math>. {{משל}}
===מסקנה===
אם f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> אז קיימת לה פונקצייה קדומה ב-<math>[a,b]</math>.
====הוכחה====
כיוון ש-f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> כולו מתקיים <math>A(x)=\int\limits_a^x f</math> קדומה ל-f ב-<math>[a,b]</math>.
====דוגמאות====
* <math>f(x)=e^{x^2}</math>. זו פונקציה אלמנטרית ומוגדרת בכל <math>\mathbb R</math>, ולכן רציפה שם. לפי המסקנה יש לה פונקציה קדומה. זו דוגמה קלאסית לפונקציה אלמנטרית שהפונקציה הקדומה שלה לא אלמנטרית.
* <math>e^{x^n}</math> כאשר <math>1<n\in\mathbb N</math>
* <math>\frac{\sin(x)}x</math>
* <math>\sin(x^n)</math>
* <math>\cos(x^n)</math>
===תרגילים לחידוד===
# נגדיר <math>F(x)=\int\limits_2^x e^{t^3}\mathrm dt</math>. נמצא את <math>F'(x)</math>: לפי חלק א של משפט 12 מתקיים <math>F'(x)=e^{x^3}</math>. {{משל}}
# נגדיר <math>G(x)=\int\limits_{x^2}^{\sin(x)} e^{t^3}\mathrm dt</math>. נמצא את <math>G'(x)</math>: נגדיר <math>F(x)=\int\limits_0^x e^{t^3}\mathrm dt</math> ולכן <math>F'(x)=e^{x^3}</math>. לפי זה <math>G(x)=F(\sin(x))-F(x^2)</math> ולפיכך, ע"פ כלל השרשרת, <math>G'(x)=F'(\sin(x))\cos(x)-F'(x^2)\cdot2x=e^{\sin^3(x)}\cos(x)-2xe^{x^6}</math>. {{משל}}
גרף (1)
'''הגדרה:''' עבור <math>f(x)\ge0</math> רציפה ב-<math>[a,b]</math> נגדיר את השטח שמתחת לגרף של f ע"י <math>\int\limits_a^b f</math>. לפי זה, אם <math>f(x)\le0</math> ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\int\limits_a^b f</math> = מספר שלילי או 0 שהוא "מינוס השטח שמעל הגרף" (גרף (2)). אם f מחליפה סימן (גרף (3)) אז <math>\int\limits_a^b f</math> = השטח מעל ציר ה-x פחות השטח מתחת לצייר ה-x ולכן <math>\int\limits_a^b |f|</math> = השטח בין הגרף לציר ה-x.
===דוגמת חישוב===
גרף (4)
כאן ברור שהשטח בין הגרפים הוא <math>\int\limits_a^b f-g</math>, ובנימוק פשוט זה נכון בכל מקרה ש-<math>f(x)\ge g(x)</math> ב-<math>[a,b]</math>.
למשל, נחשב את השטח שבין הגרפים <math>y=\sin(x)</math> ו-<math>y=\cos(x)</math> בקטע <math>\left[0,\tfrac\pi2\right]</math>
גרף (5)
בקטע <math>\left[0,\tfrac\pi4\right]</math> מתקיים <math>\cos(x)\ge\sin(x)</math> ובקטע <math>\left[\tfrac\pi4,\tfrac\pi2\right]</math> מתקיים <math>\cos(x)\le\sin(x)</math>. לכן השטח הוא {{left|<math>\begin{align}\int\limits_0^\frac\pi2 |\cos(x)-\sin(x)|\mathrm dx&=\int\limits_0^\frac\pi4 \Big(\cos(x)-\sin(x)\Big)\mathrm dx+\int\limits_\frac\pi4^\frac\pi2 \Big(\sin(x)-\cos(x)\Big)\mathrm dx\\&=\left([\sin(x)+\cos(x)]_{x=0}^\frac\pi4\right)+\left([-\sin(x)-\cos(x)]_{x=\frac\pi4}^\frac\pi2\right)\\&=\left(\frac\sqrt22+\frac\sqrt22-(0+1)\right)+\left(-1-0+\frac\sqrt22+\frac\sqrt22\right)\\&=2\sqrt2-2\end{align}</math>}}
=האינטגרל לפי רימן {{הערה|(המשך)}}=
==משפט 12 {{הערה|(המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי)}}==
תהי f מוגדרת ואינטגרבילית בקטע <math>[a,b]</math>.
# לכל <math>x\in[a,b]</math> נגדיר <math>A(x)=\int\limits_a^x f</math>. אזי A מוגדרת היטב ורציפה ב-<math>[a,b]</math> ולכל <math>x_0\in[a,b]</math> שבה f רציפה A גזירה כך ש-<math>A'(x_0)=f(x_0)</math>.
# נוסחת ניוטון-לייבניץ: נניח ש-f רציפה בכל הקטע <math>[a,b]</math>. אם F קדומה ל-f אז <math>\int\limits_a^b f=[F(x)]_{x=a}^b=F(b)-F(a)</math>.
===הוכחה===
# כיוון ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> משפט 9 נותן שלכל <math>x\in[a,b]</math> f אינטגרבילית בקטע <math>[a,x_0]</math> ולכן <math>A(x)=\int\limits_a^x f</math> מוגדרת היטב. נוכיח ש-A רציפה ע"י זה שהיא מקיימת את תנאי ליפשיץ. ובכן f אינטגרבילית ובפרט היא חסומה: <math>|f(x)|\le M</math> לכל <math>x\in[a,b]</math>. כעת אם <math>x,y\in[a,b]</math> אז <math>|A(y)-A(x)|=\left|\int\limits_a^y f-\int\limits_a^x f\right|=\left|\int\limits_x^y f\right|\le M|y-x|</math> ונובע ש-A רציפה. כעת נניח ש-f רציפה בנקודה <math>x_0\in[a,b]</math>. ר"ל A גזירה שם. ובכן <math>A(x_0+\Delta x)-A(x_0)=\int\limits_a^{x_0+\Delta x} f-\int\limits_a^{x_0} f=\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x} f</math> ולכן <math>\frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}=\frac1{\Delta x}\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f</math>. נעיר ש-<math>\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x} f(x_0)=f(x_0)\Delta x</math> (כי <math>f(x_0)</math> פונקציה קבועה). לכן <math>f(x_0)=\frac1{\Delta x}\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(x_0)</math>. מכאן ש-<math>\frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}-f(x_0)=\frac1{\Delta x}\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}\Big(f(t)-f(x_0)\Big)\mathrm dt</math>. נותר להוכיח שכאשר <math>\Delta x\to0</math> אגף ימין (ולכן אגף שמאל) שואף ל-0. לצורך זה יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. כיוון ש-f רציפה ב-<math>x_0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>|t-x_0|<\delta</math> אז <math>|f(t)-f(x_0)|<\varepsilon</math>. כעת נניח ש-<math>|\Delta x|<\delta</math>. אם כן האינטגרל באגף ימין הוא על קטע בין <math>x_0</math> ל-<math>x_0+\Delta x</math> ולכן כל t בקטע זה מקיים <math>|t-x_0|<\Delta x</math>. נובע שלכל t בקטע <math>|f(t)-f(x_0)|<\varepsilon</math>. יוצא שאם <math>|\Delta x|\le\delta</math> אז <math>\left|\frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}-f(x_0)\right|=\left|\frac1{\Delta x}\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}(f(t)-f(x_0))\mathrm dt\right|<\frac1{|\Delta x|}|\Delta x|\varepsilon</math>. הדבר אפשרי לכל <math>\varepsilon>0</math>, לכן <math>\lim_{\Delta x\to0}\frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}-f(x_0)=0</math> ז"א <math>A'(x_0)</math> קיים ושווה ל-<math>f(x_0)</math>. {{משל}}
# נתון ש-f רציפה בכל <math>[a,b]</math>. לפי החלק הקודם <math>\forall x\in[a,b]:\ A'(x)=f(x)</math>, כלומר A קדומה ל-f ב-<math>[a,b]</math>. קיים קבוע c כך ש-<math>F(x)=A(x)+c</math> לכל <math>x\in[a,b]</math>. מכאן ש-<math>F(b)-F(a)=A(b)+c-\Big(A(a)+c\Big)=A(b)-A(a)=\int\limits_a^b f-\int\limits_a^a f=\int\limits_a^b f</math>. {{משל}}
===מסקנה===
אם f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> אז קיימת לה פונקצייה קדומה ב-<math>[a,b]</math>.
====הוכחה====
כיוון ש-f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> כולו מתקיים <math>A(x)=\int\limits_a^x f</math> קדומה ל-f ב-<math>[a,b]</math>.
====דוגמאות====
* <math>f(x)=e^{x^2}</math>. זו פונקציה אלמנטרית ומוגדרת בכל <math>\mathbb R</math>, ולכן רציפה שם. לפי המסקנה יש לה פונקציה קדומה. זו דוגמה קלאסית לפונקציה אלמנטרית שהפונקציה הקדומה שלה לא אלמנטרית.
* <math>e^{x^n}</math> כאשר <math>1<n\in\mathbb N</math>
* <math>\frac{\sin(x)}x</math>
* <math>\sin(x^n)</math>
* <math>\cos(x^n)</math>
===תרגילים לחידוד===
# נגדיר <math>F(x)=\int\limits_2^x e^{t^3}\mathrm dt</math>. נמצא את <math>F'(x)</math>: לפי חלק א של משפט 12 מתקיים <math>F'(x)=e^{x^3}</math>. {{משל}}
# נגדיר <math>G(x)=\int\limits_{x^2}^{\sin(x)} e^{t^3}\mathrm dt</math>. נמצא את <math>G'(x)</math>: נגדיר <math>F(x)=\int\limits_0^x e^{t^3}\mathrm dt</math> ולכן <math>F'(x)=e^{x^3}</math>. לפי זה <math>G(x)=F(\sin(x))-F(x^2)</math> ולפיכך, ע"פ כלל השרשרת, <math>G'(x)=F'(\sin(x))\cos(x)-F'(x^2)\cdot2x=e^{\sin^3(x)}\cos(x)-2xe^{x^6}</math>. {{משל}}
גרף (1)
'''הגדרה:''' עבור <math>f(x)\ge0</math> רציפה ב-<math>[a,b]</math> נגדיר את השטח שמתחת לגרף של f ע"י <math>\int\limits_a^b f</math>. לפי זה, אם <math>f(x)\le0</math> ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\int\limits_a^b f</math> = מספר שלילי או 0 שהוא "מינוס השטח שמעל הגרף" (גרף (2)). אם f מחליפה סימן (גרף (3)) אז <math>\int\limits_a^b f</math> = השטח מעל ציר ה-x פחות השטח מתחת לצייר ה-x ולכן <math>\int\limits_a^b |f|</math> = השטח בין הגרף לציר ה-x.
===דוגמת חישוב===
גרף (4)
כאן ברור שהשטח בין הגרפים הוא <math>\int\limits_a^b f-g</math>, ובנימוק פשוט זה נכון בכל מקרה ש-<math>f(x)\ge g(x)</math> ב-<math>[a,b]</math>.
למשל, נחשב את השטח שבין הגרפים <math>y=\sin(x)</math> ו-<math>y=\cos(x)</math> בקטע <math>\left[0,\tfrac\pi2\right]</math>
גרף (5)
בקטע <math>\left[0,\tfrac\pi4\right]</math> מתקיים <math>\cos(x)\ge\sin(x)</math> ובקטע <math>\left[\tfrac\pi4,\tfrac\pi2\right]</math> מתקיים <math>\cos(x)\le\sin(x)</math>. לכן השטח הוא {{left|<math>\begin{align}\int\limits_0^\frac\pi2 |\cos(x)-\sin(x)|\mathrm dx&=\int\limits_0^\frac\pi4 \Big(\cos(x)-\sin(x)\Big)\mathrm dx+\int\limits_\frac\pi4^\frac\pi2 \Big(\sin(x)-\cos(x)\Big)\mathrm dx\\&=\left([\sin(x)+\cos(x)]_{x=0}^\frac\pi4\right)+\left([-\sin(x)-\cos(x)]_{x=\frac\pi4}^\frac\pi2\right)\\&=\left(\frac\sqrt22+\frac\sqrt22-(0+1)\right)+\left(-1-0+\frac\sqrt22+\frac\sqrt22\right)\\&=2\sqrt2-2\end{align}</math>}}
משתמש אלמוני
