מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/8/פתרון 8

1

קבעו אילו מן המשפטים הבאים שקולים לשלילה של המשפט "לכל קוף ולכל קרנף, יש ג'ירפה שאם אביה שמן כמו הקרנף, אז אמה מכוערת כמו הקוף"

• יש קוף כך שלכל הג'ירפות אין אבא שמן כמו אף קרנף או שאימן יפה מהקוף
  • לא שלילה. קוף אחד, קרנף אחד, ג'ירפה אחת. האב של הג'ירפה רזה מהקרנף

• יש קוף, קרנף וג'ירפה עם אבא ששמן כמו הקרנף ואמא שיפה מהקוף
  • לא שלילה. קוף אחד, קרנף אחד, שתי ג'ירפות. האב של הג'ירפה הראשונה רזה מהקרנף. לג'ירפה השנייה יש אבא ששמן כמו הקרנף ואמא שיפה מהקוף

• לכל קוף אין קרנף כך שיש ג'ירפה שאם אביה שמן כמו הקרנף, אז אמה מכוערת כמו הקוף
  • לא שלילה. קוף אחד, שני קרנפים, ג'ירפה אחת. האמא של הג'ירפה יפה מהקוף. אביה של הג'ירפה שמן כמו הקרנף הראשון, ורזה מהקרנף השני.

• יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות שאין להן אבא שמן כמו הקרנף, אין להם אמא מכוערת כמו הקוף
  • לא שלילה. קוף אחד, קרנף אחד, ג'ירפה אחת. האבא של הג'ירפה רזה מהקרנף, והאמא שלה יפה מהקוף.

• יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות שאביהן שמן כמו הקרנף, אימן יפה מן הקוף
  • לא שלילה. קוף אחד, קרנף אחד, ג'ירפה אחת. האבא של הג'ירפה רזה מהקרנף.

• יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות או שאימן יפה מן הקוף או שאבא שלהן רזה מן הקרנף
  • לא שלילה. קוף אחד, קרנף אחד, ג'ירפה אחת. האבא של הג'ירפה רזה מהקרנף, האמא שלה מכוערת כמו הקוף.

מצא דוגמא נגדית לכל אחד מן המשפטים שאינו שקול לשלילה.

2

הגדרה:

קבוצת וקטורים $v_1,...,v_n$ נקראת תלוייה לינארית אם קיימים סקלרים $a_1,...,a_n\in\mathbb{R}$ כך שלפחות אחד מהם שונה מאפס וגם $a_1v_1+...+a_nv_n=0$

אילו מן ההגדרות הבאות מתאימה לקבוצת וקטורים שאינה תלוייה לינארית:

• וקטורים המקיימים $v_1+v_2+...+v_n \neq 0$
  • לא, כי יתכן שקיים צירוף לינארי לא טריוויאלי אחר של הוקטורים שכן מתאפס

• וקטורים המקיימים $0\cdot v_1+0\cdot v_2+...+0\cdot v_n \neq 0$
  • לא, אף קבוצת וקטורים לא מקיימת הגדרה זו (למרות שכן יש קבוצות וקטורים שאינן תלויות לינארית)

• וקטורים המקיימים את התנאי- אם $a_1v_1+...+a_nv_n=0$ אזי $a_1=a_2=...=a_n=0$
  • כן, כי אם הקבוצה הייתה תלויה לינארית אז היו קיימים סקלרים $a_1,...,a_n\in\mathbb{R}$ כך שלפחות אחד מהם שונה מאפס וגם $a_1v_1+...+a_nv_n=0$, אבל אז כולם היו שווים לאפס לפי ההגדרה בסתירה.

• וקטורים שלעולם לא מקיימים את התנאי $a_1v_1+...+a_nv_n=0$
  • לא, מכיוון שקבוצת וקטורים שאינה תלויה לינארית יכולה לקיים את התנאי עבור $a_1=a_2=...=a_n=0$

3

תהיינה A,B,C קבוצות. נניח נתון $C \subseteq A\cup B$.

הוכח/הפרך כל אחת מן הטענות הבאות:

• $C\subseteq A$ או $C \subseteq B$
  • הפרכה: $A=\{1\},B=\{2\},C=\{1,2\}$

• אם $C\cap A = \phi$ אזי $C \subseteq B$
  • הוכחה: יהי $x \in C$. לכן $x \in A\cup B$ לכן $x \in A$ או $x \in B$. נתון $C\cap A = \phi$ לכן $x \not\in A$ לכן $x \in B$

• $C\cap A = \phi$ אם ורק אם $C \subseteq B$
  • הפרכה: $A=\{1,2\},B=\{2,3\},C=B$

• $C\backslash A \subseteq B$
  • הוכחה: יהי $x \in C\backslash A$. לכן $x \in A\cup B$ לכן $x \in A$ או $x \in B$. לפי הגדרת x הוא לא בA לכן הוא בB.

• אם $C=A$ אזי $A\subseteq B$
  • הפרכה: $A=\{1\},B=\empty,C=A$

• $\Big((A\cup B)\backslash C\Big)\cup C = A \cup B$
  • הוכחה. היעזרו במשפטים הבאים (אחרי שתוכיחו אותם):

1. אם $A \subseteq X$ וגם $B \subseteq X$ אז $A\cup B \subseteq X$

2. $(A \backslash X) \cup X \supseteq A$

• $\Big((A\backslash C)\cup (B\backslash C)\Big)\cup C = A \cup B$
  • הוכחה:

אגף שמאל הוא איחוד של שלוש קבוצות המוכלות ב$A\cup B$ לכן כל אגף שמאל מוכל באגף ימין יהי $x \in A\cup B$. אם $x \in C$ אז הוא באגף שמאל בגלל האיחוד עם C. אחרת, $x \not\in C$. לפי ההגדרה של x הוא בA או בB. אם הוא בA אז הוא ב$A\backslash C$ ואם הוא בB אז הוא ב$B\backslash C$. לכן סה"כ הוא תמיד באגף שמאל לכן אגף ימין מוכל באגף שמאל