משפט לייבניץ

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים

תהי \{a_n\} סדרה חיובית, מונוטונית, השואפת לאפס. אזי:

  • הטור \displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^na_n מתכנס
  • השארית R_k=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^na_n-\sum_{n=1}^k(-1)^na_n מקיימת |R_k|\le |a_{k+1}|

הוכחה

נוכיח כי סדרה הסכומים החלקיים של הטור הנה סדרת קושי, ועל כן הטור מתכנס.

יהי \epsilon>0, צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני אברים קטן מ- \epsilon .

  • \Big|S_m-S_n\Big|=\bigg|(-1)^ma_m+\cdots+(-1)^{n+1}a_{n+1}\bigg|=\bigg|a_m-a_{m-1}+a_{m-2}-\cdots\bigg|

נראה כי כל אבר "בולע" את קודמיו, לפי המונוטוניות של הסדרה:

-a_{m-1}<a_m-a_{m-1}<0

לכן

a_{m-2}-a_{m-1}<a_m-a_{m-1}+a_{m-2}<a_{m-2}+0

כלומר

0<a_m-a_{m-1}+a_{m-2}<a_{m-2}

וכן הלאה עד שנקבל

\Big|S_m-S_n\Big|<a_{n+1}

וכיון ש- a_n שואפת לאפס, החל ממקום מסוים זה קטן מ- \epsilon (ללא תלות ב- m).

לפי טיעון דומה, \left|\displaystyle\sum_{n=k+1}^K(-1)^na_n\right|=\bigg|a_{k+1}-a_{k+2}+a_{k+3}-\cdots\bigg|\le a_{k+1} ולכן

|R_k|=\displaystyle\lim_{K\to\infty}\left|\sum\limits_{n=k+1}^K(-1)^na_n\right|\le a_{k+1}

כפי שרצינו. \blacksquare