שינויים

*הטור <math>\sumdisplaystyle\limits_sum_{n=1}^\infty (-1)^na_n</math> מתכנס*השארית <math>R_k=\sumdisplaystyle\limits_sum_{n=1}^\infty (-1)^na_n-\sum\limits_sum_{n=1}^k (-1)^na_n</math> מקיימת <math>|R_k|\le |a_{k+1}|</math>

יהי <math>\epsilon>0</math>, צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני איברים אברים קטן מ- <math>\epsilon</math>.

*<math>\Big|S_m-S_n\Big|=\Biggbigg|(-1)^ma_m+\cdots+(-1)^{n+1}a_{n+1}\Biggbigg|=\Biggbigg|a_m-a_{m-1}+a_{m-2}-\cdots\Biggbigg|</math>

נראה כי כל איבר אבר "בולע" את קודמיו, לפי המונוטוניות של הסדרה:

:<math>\Big|S_m-S_n\Big|<a_{n+1}</math>

וכיון ש- <math>a_n</math> שואפת לאפס, החל ממקום מסויים מסוים זה קטן מ- <math>\epsilon</math> (ללא תלות ב- <math>m</math>).

לפי טיעון דומה, <math>\Biggleft|\sumdisplaystyle\limits_sum_{n=k+1}^K (-1)^na_n\Biggright|=\Biggbigg|a_{k+1}-a_{k+2}+a_{k+3}-\cdots\Biggbigg|\le a_{k+1}</math> ולכן

:<math>|R_k|=\displaystyle\lim_{K\to\infty}\Biggleft|\sum\limits_{n=k+1}^K (-1)^na_n\Biggright|\le a_{k+1}</math>