משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/22.3.11

דוגמאות

1. עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \int\limits_0^2 x^2e^{x^3}}\mathrm dx

. שיטה א - נתעלם מהגבולות עד סוף החישוב. נציב $t=x^3\implies\frac{\mathrm dt}3=\mathrm dx$. לכן $\int=\int e^t\frac{\mathrm dt}3=\frac{e^t}3=\left[\frac{e^{x^3}}3\right]_{x=0}^2=\frac{e^8-1}3$. דרך ב - נחליף את הגבולות בדרך: $t=x^3\implies t(0)=0,\ t(2)=8$ ולכן עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips‏, gs ו־convert)): \int=\limits_0^8\frac{e^t}3\mathrm dt=\left[\frac{e^t}3\right]_{t=0}^8=\frac{e^8-1}3

1. נחשב שטח עיגול בעל רדיוס r. $x^2+y^2=r^2\implies y=\sqrt{r^2-x^2}$. לכן השטח הוא $2\int\limits_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2}\mathrm dx$. נציב $x=r\sin(\theta)$... הערה: כאשר החלפנו את גבולות האינטגרציה בהצגה $x=r\sin(\theta)$ היינו צריכים לבחור $\theta$ כך ש-$x=r$, אבל יכולנו לבחור $\theta=\frac{r\pi}2$ כי אז $x=r\sin(\theta)=r\sin\left(\frac{r\pi}2\right)=r$, ועבור $x=-r$ יכולנו לבחור $-\frac{r\pi}2$. אם כן היינו מוצאים $S=\int\limits_{-\frac{r\pi}2}^\frac{r\pi}2 \sqrt{r^2-r^2\sin^2(\theta)}\ r\cos(\theta)\mathrm d\theta=2\int\limits_{-\frac{r\pi}2}^\frac{r\pi}2r^2\cos^2(\theta)\mathrm d\theta=2r^2\int\limits_{-\frac{r\pi}2}^\frac{r\pi}2\frac{1+\cos(2\theta)}2\mathrm d\theta=r\pi r^2$. הטעות נובעת מכך שקבענו ש-$\sqrt{r^2-r^2\sin^2(\theta)}=\sqrt{r^2\cos^2(\theta)}=r\cos(\theta)$, מה שנכון רק כאשר $\cos(\theta)\ge0$. הטווח של האינטגרציה היה $\left[-\frac{r\pi}2,\frac{r\pi}2\right]$, שכולל תחומים בהם $\cos(\theta)<0$. בתחומים אלה צריך לבחור $\sqrt{r^2\cos^2(\theta)}=-r\cos(\theta)$ ולחלק את הקטע $\left[-\frac{r\pi}2,\frac{r\pi}2\right]$ לתחומים שונים לפי הסימן של $\cos(\theta)$.

יישומים של אינטגרציה

1. אם בקטע $[a,b]$ מתקיים $f(x)\le g(x)$ כבר ראינו שהשטח בין הגרפים הוא $\int\limits_a^b(g(x)-f(x))\mathrm dx$.
2. נפח של גוף סיבוב גרף (1). נסובב את השטח מתחת לגרף $y=f(x)$ בין a ל-b סביב ציר ה-x ונחשב את הנפח הנוצר. עבור $f(x)=c$ קבוע הסיבוב יוצר גליל שנפחו ידוע לנו - $\pi c^2(b-a)$. כעת נניח ש-$f(x)\ge0$ רציפה ב-$[a,b]$ ונחשב את הנפח הנוצר ע"י סיבוב הגרף. ובכן: נקח חלוקה כלשהי P של $[a,b]$, $a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b$. תחילה נעיין בנפח הנוצר כאשר אותו חלק מהגרף שמעל $[x_{k-1},x_k]$ מסתובב סביב ציר ה-x עפ"י המשפט השני של וירשטרס יש ל-f מקסימום $M_k$ ומינימום $m_k$ בקטע זה. נסמן ב-$V_k$ הנפח שנוצר ע"י חלק זה של הגרף. אז מתקיים $\pi m_k^2(x_k-x_{x-1})\le V_k\le\pi M_k^2(x_k-x_{x-1})$. יוצא שהנפח בסה"כ הוא $V=\sum_{k=1}^n V_k$ ומתקיים $\sum_{k=1}^n\pi m_k^2(x_k-x_{x-1})\le V\le\sum_{k=1}^n\pi M_k^2(x_k-x_{x-1})$. נעיר שהסכום בצד ימין הוא בדיוק $\overline S(\pi f^2,P)$ ובצד שמאל $\underline S(\pi f^2,P)$. ז"א לכל חלוקה P $\underline S(\pi f^2,P)\le V\le\overline S(\pi f^2,P)$. נשאיף $\lambda(P)\to0$ וכיוון ש-f רציפה גם $\pi f^2$ רציפה ולכן שני הסכומים הנ"ל שואפים לאותו הגבול $\int\limits_a^b \pi f^2=V$.

דוגמאות

1. נחשב נפח של כדור בעל רדיוס r: $V=\pi\int\limits_{-r}^r f^2=\pi\int\limits_{-r}^r (r^2-x^2)\mathrm dx=\pi\left[r^2x-\frac{x^3}3\right]_{x=-r}^r=2\pi(r^3-\frac{r^3}3)=\frac43\pi r^3$.
2. נחשב נפח של חרוט בעל גובה h ורדיוס בסיס r. גרף (3) זהו גרף סיבוב המתקבל מסיבוב משולש סביב ציר ה-x. גרף (4) $y=\frac rhx+0$. לפי זה הנפח הוא עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \pi\int\limits_0^h\left(\frac rhx\right)^2\mathrm dx=\pi(\frac rh)^2\int\limits_0^h x^2\mathrm dx=\pi\left(\frac rh\right)^2\frac{x^3}3\right]_{x=0}^h=\frac{\pi r^2h}3

, כלומר נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל בעל אותו גובה ורדיוס בסיסים.

1. נגדיר ממוצע של פונקציה רציפה: תהא f מוגדרת ורציפה