משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/22.3.11

דוגמאות

1. עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \int\limits_0^2 x^2e^{x^3}}\mathrm dx

. שיטה א - נתעלם מהגבולות עד סוף החישוב. נציב $t=x^3\implies\frac{\mathrm dt}3=\mathrm dx$. לכן $\int=\int e^t\frac{\mathrm dt}3=\frac{e^t}3=\left[\frac{e^{x^3}}3\right]_{x=0}^2=\frac{e^8-1}3$. דרך ב - נחליף את הגבולות בדרך: $t=x^3\implies t(0)=0,\ t(2)=8$ ולכן עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips‏, gs ו־convert)): \int=\limits_0^8\frac{e^t}3\mathrm dt=\left[\frac{e^t}3\right]_{t=0}^8=\frac{e^8-1}3

1. נחשב שטח עיגול בעל רדיוס r. $x^2+y^2=r^2\implies y=\sqrt{r^2-x^2}$. לכן השטח הוא $2\int\limits_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2}\mathrm dx$. נציב $x=r\sin(\theta)$... הערה: כאשר החלפנו את גבולות האינטגרציה בהצגה $x=r\sin(\theta)$ היינו צריכים לבחור $\theta$ כך ש-$x=r$, אבל יכולנו לבחור $\theta=\frac{r\pi}2$ כי אז $x=r\sin(\theta)=r\sin\left(\frac{r\pi}2\right)=r$, ועבור $x=-r$ יכולנו לבחור $-\frac{r\pi}2$. אם כן היינו מוצאים $S=\int\limits_{-\frac{r\pi}2}^\frac{r\pi}2 \sqrt{r^2-r^2\sin^2(\theta)}\ r\cos(\theta)\mathrm d\theta=2\int\limits_{-\frac{r\pi}2}^\frac{r\pi}2r^2\cos^2(\theta)\mathrm d\theta=2r^2\int\limits_{-\frac{r\pi}2}^\frac{r\pi}2\frac{1+\cos(2\theta)}2\mathrm d\theta=r\pi r^2$. הטעות נובעת מכך שקבענו ש-$\sqrt{r^2-r^2\sin^2(\theta)}=\sqrt{r^2\cos^2(\theta)}=r\cos(\theta)$, מה שנכון רק כאשר $\cos(\theta)\ge0$. הטווח של האינטגרציה היה $\left[-\frac{r\pi}2,\frac{r\pi}2\right]$, שכולל תחומים בהם $\cos(\theta)<0$. בתחומים אלה צריך לבחור $\sqrt{r^2\cos^2(\theta)}=-r\cos(\theta)$ ולחלק את הקטע $\left[-\frac{r\pi}2,\frac{r\pi}2\right]$ לתחומים שונים לפי הסימן של $\cos(\theta)$.

יישומים של אינטגרציה

1. אם בקטע $[a,b]$ מתקיים $f(x)\le g(x)$ כבר ראינו שהשטח בין הגרפים הוא $\int\limits_a^b(g(x)-f(x))\mathrm dx$.
2. נפח של גוף סיבוב גרף (1). נסובב את השטח מתחת לגרף $y=f(x)$ בין a ל-b סביב ציר ה-x ונחשב את הנפח הנוצר. עבור $f(x)=c$ קבוע הסיבוב יוצר גליל שנפחו ידוע לנו - $\pi c^2(b-a)$. כעת נניח ש-$f(x)\ge0$ רציפה ב-$[a,b]$ ונחשב את הנפח הנוצר ע"י סיבוב הגרף. ובכן: נקח חלוקה כלשהי P של $[a,b]$, $a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b$. תחילה נעיין בנפח הנוצר כאשר אותו חלק מהגרף שמעל $[x_{k-1},x_k]$ מסתובב סביב ציר ה-x עפ"י המשפט השני של וירשטרס יש ל-f מקסימום $M_k$ ומינימום $m_k$ בקטע זה. נסמן ב-$V_k$ הנפח שנוצר ע"י חלק זה של הגרף. אז מתקיים $\pi m_k^2(x_k-x_{x-1})\le V_k\le\pi M_k^2(x_k-x_{x-1})$. יוצא שהנפח בסה"כ הוא $V=\sum_{k=1}^n V_k$ ומתקיים $\sum_{k=1}^n\pi m_k^2(x_k-x_{x-1})\le V\le\sum_{k=1}^n\pi M_k^2(x_k-x_{x-1})$. נעיר שהסכום בצד ימין הוא בדיוק $\overline S(\pi f^2,P)$ ובצד שמאל $\underline S(\pi f^2,P)$. ז"א לכל חלוקה P $\underline S(\pi f^2,P)\le V\le\overline S(\pi f^2,P)$. נשאיף $\lambda(P)\to0$ וכיוון ש-f רציפה גם $\pi f^2$ רציפה ולכן שני הסכומים הנ"ל שואפים לאותו הגבול $\int\limits_a^b \pi f^2=V$.

דוגמאות

1. נחשב נפח של כדור בעל רדיוס r: $V=\pi\int\limits_{-r}^r f^2=\pi\int\limits_{-r}^r (r^2-x^2)\mathrm dx=\pi\left[r^2x-\frac{x^3}3\right]_{x=-r}^r=2\pi(r^3-\frac{r^3}3)=\frac43\pi r^3$.
2. נחשב נפח של חרוט בעל גובה h ורדיוס בסיס r. גרף (3) זהו גרף סיבוב המתקבל מסיבוב משולש סביב ציר ה-x. גרף (4) $y=\frac rhx+0$. לפי זה הנפח הוא עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \pi\int\limits_0^h\left(\frac rhx\right)^2\mathrm dx=\pi(\frac rh)^2\int\limits_0^h x^2\mathrm dx=\pi\left(\frac rh\right)^2\frac{x^3}3\right]_{x=0}^h=\frac{\pi r^2h}3

, כלומר נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל בעל אותו גובה ורדיוס בסיסים.

1. תהא f מוגדרת ורציפה ב-$[a,b]$ ונחשב את הממוצע של f בקטע זה באופן הבא: לכל $n\in\mathbb N$ נגדיר חלוקה $P_n$ של הקטע לקטעים שווים $a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b$. כאשר לכל k עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}

. נרשום את הממוצע של f בנקודות החלוקה. הוא $\frac1n\sum{k=1}^n f(x_k)$. לפי בחירת $P_n$, לכל k מתקיים $x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n\implies\frac1n=\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}$ ונובע: $\sum_{k=1}^n\frac1n f(x_k)=\sum_{k=1}^nf(x_k)\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}=\frac1{b-a}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k$ (כאשר $\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k$ הוא סכום רימן). נשאיף $n\to\infty$ ומכיוון שבמקרה כזה $\lambda(P_n)\to0$ מצאנו שהממוצע של f שואף ל-$\frac1{b-a}\int\limits_a^b f$. באותה דרך ניתן לחשב ממוצע של כל פונקציה אינטגרבילית גם אם היא לא רציפה. גישה אחרת: אם $f(x)\ge0$ רציפה אז $\frac1{b-a}\int\limits_a^b f$ הוא השטח שמתחת לגרף חלקי אורך בסיס השטח, שזה הממוצע.

1. אורך הגרף: עבור פונקציה f רציפה ב-$[a,b]$ נעשה חלוקה $P_n$ של הקטע. החלוקה גורמת לחלוקת הגרף ע"י נקודות $q_0,q_1,\dots,q_n$, כאשר לכל k $q_k=(x_k,f(x_k))$. קירוב סביר לאורת הגרף נתון ע"י $L(P)=\sum_{k=1}^n d(q_{k-1},q_k)$, כאשר $d(A,B)$ הוא המרחק בין הנקודות A ו-B. מרחק זה שווה ל-עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2

. לכן L אורך הגרף מקיים שלכל $P_n$ $L(P_n)\le L$ ואפשר להגדיר את L ע"י $L=\sup_n L(P_n)$. לפי זה L תמיד מוגדר $0<L\le\infty$. דוגמה: נגדיר $f(x)=x\sin\left(\frac1x\right)$. היא רציפה בקטע הסגור $[0,1]$ אבל אורך הגרף הוא $\infty$. גרף (5). כאשר ראינו ש-עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): L(P)=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2} (x_k-x_{k-1})=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)}\Delta x_k

(ע"פ משפט לגראנז' יש $c_k$ כזה כך ש-$\forall k:\ c_k\in(x_{k-1},x_k)$ והגענו לסכום רימן עבור הפונקציה $\sqrt{1+f'(x)^2}$. היה נתון ש-$f'(x)$ רציפה ולכן גם $\sqrt{1+f'(x)^2}$ רציפה וסכומי רימן אלה שואפים לאינטגרל $\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx$ והשערה מאוד סבירה היא שזהו אורך הגרף $L=\sup_n L(P_n)$. נוכיח זאת: נגדיר $I=\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx$ וכן $L=\sup_n L(P_n)$ ונניח $L<\infty$. יהי $\varepsilon>0$ נתון. לפי הגדרת הסופרימום קיימת חלוקה מסויימת $P'$ של $[a,b]$ כך ש-$0<L-L(P')<\frac\varepsilon2$. אם Q עידון של $P'$ אז $L(P')\le L(Q)\le L$ ולכן $0<L-L(Q)<\frac\varepsilon2$. כעת נתון ש-$f'$ רציפה ולכן $\sqrt{1+f'^2(x)}$ אינטגרבילית ב-$[a,b]$. לכן קיים $\delta>0$ כך שאם P חלוקה כלשהי של $[a,b]$ כך ש-$\lambda(P)<\delta$ ואם S סכום רימן כלשהו הבנו על P $|I-S|<\frac\varepsilon2$. לבסוף נבחר P להיות עידון כלשהו של $P'$ כך ש-$\lambda(P)<\delta$. כבר למדנו ש-$L(P)$ הוא סכום רימן S עבור האינטגרל I שבנוי על P. מכל זה נסיק $|I-L|=|I-S+S_L|=|I-S+L(P)-L|\le|I-S|+|L(P)-L|<\varepsilon$ ז"א I ו-L הם שני מספרים קבועים שהפרשם קטן מ-$\varepsilon$ לכן הם שווים. $\blacksquare$