שינויים

<li>==שיטת הטרפזים==[[קובץ: שיטת הטרפזים.png|300px|ימין]]נעשה חלוקה שווה של <math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>, כאשר <math>x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n=h</math>. חלוקת הקטע <math>[a,b]</math> משרה חלוקת הגרף <math>y=f(x)</math>. נחבר את הנקודות האלה בגרף ע"י קווים ישרים, וכך ניצור איחוד של n טרפזים (במקום מלבנים בשיטה של סכומי רימן), והשטח הכולל של הטרפזים הוא קירוב של האינטגרל. לטרפז שמעל <math>[x_{k-1},x_k]</math> יש רוחב h ושני גבהים <math>f(x_{k-1}),\ f(x_k)</math>. לכן שטח אותו טרפז הוא <math>\frac{f(x_{k-1})+f(x_k)}2h</math>, והקירוב לאינטגרל הוא {{left|<math>\begin{align}\sum_{k=1}^n \frac{f(x_{k-1})+f(x_k)}2h&=h\left(\frac{f(x_0)}2+2\frac{f(x_1)}2+2\frac{f(x_2)}2+\dots+\frac{f(x_n)}2\right)\\&=\left(\frac{f(x_0)}2+\frac{f(x_n)}2\right)h+h\sum_{k=1}^{n-1} f(x_k)\end{align}</math>}}נותר לחשב את סדר הגודל של הטעות. נסמן לכל פונקציה g <math>I(g)=\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} g(x)\mathrm dx</math> וכן <math>T(g)</math> הקירוב של <math>I(g )</math> ע"י טרפז. עתה נתמקד באחד הקטעים <math>[x_{k-1},x_k]</math> ונעריך את הטעות בו, השווה ל-<math>\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x)\mathrm dx-\frac{f(x_{k-1})+f(x_k)}2h=I(f)-T(f)</math>. נשים לב כי אם f לינארית בקטע אז הטעות היא 0.

לסיכום, עד כה הראינו כי לפיכך <math>I(f)=I(P)+I(R)</math> ו-, <math>T(f)=T(P)+T(R)</math>. לכן השארית והשארית <math>I(f)-T(f)</math> היא <math>I(P)-T(P)+I(R)-T(R)</math>, ומכיוון ש-P לינארית <math>I(P)-T(P)=0</math>, כלומר השארית היא <math>I(R)-T(R)</math>. נחשב: {{left|<math>\begin{align}|I(R)|&=\left|\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} \frac{f''(c)}2 (x-x_k)^2\mathrm dx\right|\\&\le=\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} \frac{|f''(c)|}2 (x-x_k)^2\mathrm dx\\&\le\frac M2\left[\frac{(x-x_{k-1})^3}3\right]_{x=x_{x-1}}^{x_k}\\&=\frac M2\frac{(x_k-x_{k-1})^3}3\\&=\frac {Mh^3}6\end{align}</math>}}וכן {{left|<math>\begin{align}|T(R)|&=\left|\frac{\frac{f''(c)}2 (x_{k-1}-x_{k-1})^2+\frac{f''(c)}2 h^2}2h\right|\\&=\left|\frac{f''(c)(x_k-x_{k-1})4h^2}4h3\right|\\&\le\frac{Mh^3}4\end{align}</math>}}

</li><li>==כלל סימפסון (Simpson's Role): ==שוב נקרב את <math>\int\limits_a^b f</math> בעזרת חלוקה שווה <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b,\ h=\frac{b-a}n</math>, אלא שהפעם נדרוש ש-n זוגי. הקירוב של סימפסון הוא <math>S(f)=\frac h3\left(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{n/2}f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{n/2-1}f(x_{2k})+f(x_n)\right)</math>. למעשה, סימפסון מקרב <math>\int\limits_{x_{k-1}}^{x_kx_{k+1}} f</math> ע"י <math>\frac h3\Big(f(x_{k-1})+4f(x_k)+f(x_{k+1})\Big)</math>

===הוכחה==='''הוכחה:''' נסמן <math>I_1=\int\limits_{-R}^0 f\ \and\ I_2=\int\limits_0^R f</math> ולכן <math>I_1+I_2=\int\limits_{-R}^R f</math>. ב-<math>I_1</math> נציב <math>t=-x\implies \mathrm dt=-\mathrm dx</math> ונקבל <math>I_1=\int\limits_{-(-R)}^{-0} f(-t)(-\mathrm dt)=-\left(-\int\limits_0^R -f(t)\mathrm dt\right)=-I_2</math>. {{משל}}</li>

===הוכחה==='''הוכחה:''' לפי ההגדרה, אם f גזירה ב-<math>x_0</math> אזי <math>f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math>, ולפי משפט לגראנז' זה שווה ל-<math>\lim_{x\to x_0} f'(c)</math> עבור <math>c</math> כלשהו בין <math>x</math> ל-<math>x_0</math>. לכן, כאשר <math>x\to x_0</math> גם <math>c\to x_0</math> ונקבל <math>L=\lim_{c\to x_0} f'(c)=\lim_{x\to x_0} f'(c)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)</math>. {{משל}}

===שלב א===נניח ש-<math>h>0</math> ו-<math>p(x)</math> פולינום ממעלה 3 או פחות. נוכיח ש-<math>\int\limits_{-h}^h p=\frac h3\leftBig(p(-h)+4p(0)+p(h)\rightBig)\implies I(p)=S(p)</math> (כאשר לכל f אינטגרבילית ב-<math>[-h,h]</math> הגדרנו <math>I(f)=\int\limits_{-h}^h f</math>).====הוכחה====לכל פולינום ממעלה 3 (או פחות) <math>p(x)=\sum_{k=0}^3 \alpha_kx^k</math> מתקיים {{left|<math>\begin{align}I(p)&=\sum_{k=0}^3 \int\limits_{-h}^h \alpha_kx^k\mathrm dx\\&=\sum_{k=0}^3 \left[\alpha_k\frac{x^{k+1}}{k+1}\right]_{x=-h}^h\\&=2h\alpha_0+0+\frac23h^3\alpha_2+0\\&=\frac h3\left(6\alpha_0+2h^2\alpha_2\right)\\&=\frac h3\Big(\left(\alpha_0-h\alpha_1+h^2\alpha_2-h^3\alpha_3\right)+4\alpha_0+\left(\alpha_0+h\alpha_1+h^2\alpha_2+h^3\alpha_3\right)\Big)\\&=S(p)\end{align}</math>}}===שלב ב===נניח ש-f בעלת 4 נגזרות רציפות בקטע <math>[-h,h]</math> ונסמן <math>M=\max_{x\in[-h,h]}\left|f^{(4)}(x)\right|</math>. נעריך את הטעות: <math>\int\limits_{-h}^h f-\frac h3\Big(f(-h)+4f(0)+f(h)\Big)=I(f)-S(f)</math>. לצורך זה נשתמש בפיתוח טיילור של f סביב 0 מסדר 3, <math>f(x)=P_3(x)+R_3(x)</math>. לכן <math>I(f)-S(f)=\underbrace{I(P_3)-S(P_3)}_0+I(R_3)-S(R_3)</math>. כזכור <math>R_3(x)=\frac{f^{(4)}(c)x^4}{4!}</math>. נעריך: {{left|<math>\begin{align}|I(R_3)|&=\left|\int\limits_{-h}^h\frac{f^{(4)}(c)x^4}{4!}\mathrm dx\right|\\&\le\frac M{4!}\int\limits_{-h}^h\left|x^4\right|\mathrm dx\\&=\frac M{24}\left[\frac{x^5}5\right]_{x=-h}^h\\&=\frac{Mh^5}{60}\end{align}</math>}}{{left|<math>\begin{align}|S(R_3)|&=\left|\frac h3\Big(R_3(-h)+4R_3(0)+R_3(h)\Big)\right|\\&=\frac h3\left|\frac{f^{(4)}(c_1)}{4!}h^4+\frac{f^{(4)}(c_2)}{4!}h^4\right|\\&\le\frac M{36}\cdot h^5\end{align}</math>}}מכל זה, יוצא ש: <math>|I(f)-S(f)|=|I(R_3)-S(R_3)|\le\frac M{36}h^5+\frac M{60}h^5=\frac 2{45}Mh^5</math>.===שלב ג===נוכיח כי לכל k שעבורו <math>1\le k\le n-1</math> מתקיים <math>\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f-\frac h3\left(f(x_{k-1})+4f(x_k)+f(x_{k+1})\right)=I(f)-S(f)</math>====הוכחה====באינטגרל <math>I(f)</math> נציב <math>t=x-x_k</math> כדי לקבל <math>I(f)=\int\limits_{x_{k-1}-x_k}^{x_{k+1}-x_k}f(t+x_k)\mathrm dt=\int\limits_{-h}^h f(t+x_k)\mathrm dt</math>. ניצור פונקציה <math>g:t\mapsto f(t+x_k)</math> ונבנה <math>S(g)</math> ב-<math>[-h,h]</math> כמו שעשינו בשלב ב: {{left|<math>\begin{align}S(g)&=\frac h3\Big(g(-h)+4g(0)+g(h)\Big)\\&=\frac h3\Big(f(x_k-h)+4f(x_k)+f(x_k+h)\Big)\\&=\frac h3\Big(f(x_{k-1})+4f(x_k)+f(x_{k+1})\Big)\\&=S(f)\end{align}</math>}}כמו כן, מכיוון ש-<math>g(x)=f(x+x_k)</math> מתקיים <math>M=\max_{x\in[-h,h]}\left|g^{(4)}(x)\right|=\max_{x\in[x_{k-1},x_{k+1}]}\left|f^{(4)}(x)\right|</math>, ומכל זה נובע <math>I_{[x_{k-1},x_{k+1}]}(f)-S_{[x_{k-1},x_{k+1}]}(f)=I_{[-h,h]}(g)-S_{[-h,h]}(g)\le\frac2{45}Mh^5</math>. ===סיכום===מצאנו שעל כל תת קטע <math>[x_{k-1},x_{k+1}]</math> הטעות בקירוב סימפסון חסומה ע"י <math>\frac2{45}Mh^5</math>. יש <math>\frac n2</math> קטעים כאלה, ומכיוון ש-<math>h=\frac{b-a}n\implies n=\frac{b-a}h</math> הטעות חסומה ע"י <math>\frac2{45}Mh^5\frac{b-a}{2h}=\frac{Mh^4(b-a)}{45}</math>. ''הערה:'' ניתן להוכיח כי הטעות חסומה גם ע"י <math>\frac{Mh^4(b-a)}{180}</math>.