שינויים

תהי <math>f </math> פונקציה ממשית. נקודה <math>x </math> בתחום ההגדרה של <math>f </math> נקראת חשודה אם <math>f'(x)=0</math> או שהנגזרת אינה מוגדרת ב-<math>x</math> .

'''משפט:''' תהי <math>f</math> פונקציה הגזירה '''ברציפות''' <math>n+1</math> פעמים בסביבת הנקודה <math>a</math> . עוד נניח כי :<math>\begin{align}f'(a)=f''(a)=\cdots=נקודות המאפסות את הנגזרת==f^{(n)}(a)=0\\f^{(n+1)}(a)\ne0\end{align}</math>

===נקודות בהן הנגזרת אינה מוגדרת===אזי:*אם הנגזרת אינה מוגדרת ב<math>n+1</math> זוגי וגם <math>f^{(n+1)}(a)>0</math> אזי <math>a</math> '''[[נקודת קיצון|נקודת מינימום מקומי]]'''.*אם <math>n+1</math> זוגי וגם <math>f^{(n+1)}(a)<0</math> אזי <math>a</math> '''[[נקודת קיצון|נקודת מקסימום מקומי]]'''.*אם <math>n+1</math> אי-x זוגי אזי:<math>a</math> [[נקודת פיתול]].

*אם הנגזרת חיובית מצד ימין של x ושלילית משמאל בסביבה אזי x ==='''הוכחה:'''===לפי [[נקודת קיצוןמשפט טיילור עם שארית לגראנז'|נקודת מינימוםטיילור]]*אם הנגזרת שלילית מצד שמאל של לכל <math>x וחיובית מימין </math> בסביבה אזי קיימת נקודה <math>c</math> בין <math>x [[נקודת קיצון|נקודת מקסימום]]</math> לבין <math>a</math> כך ש:

:<math>f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}+\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}</math> אבל לפי ההנחה כי <math>n</math> הנגזרות הראשונות מתאפסות ב- <math>a</math> , מתקיים :<math>f(x)-f(a)=\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}</math> לכן, אם המקרים האלה הללו אינם מתקיימים באף סביבה של הנקודה <math>n+1</math> זוגי וגם <math>f^{(n+1)}(a)>0</math> לפי רציפות הנגזרת השניה קיימת סביבת <math>a</math> בה <math>f^{(n+1)}>0</math> ולכן לכל <math>x</math> בסביבה מתקיים: :<math>f(x)-f(a)\ge0</math> שכן <math>(x-a)^{(n+1)}\ge0</math> תמיד עבור <math>n+1</math> זוגי. כלומר אם <math>f^{(n+1)}(a)>0</math> אזי יש לבחון כל מקרה לגופו<math>x</math> הנה '''[[נקודת קיצון|נקודת מינימום]]'''. באופן דומה, אם <math>f^{(n+1)}(a)<0</math> אזי <math>x</math> הנה '''[[נקודת קיצון|נקודת מקסימום]]'''. אם <math>n+1</math> אי-זוגי, אזי הסימן של <math>(x-a)^{(n+1)}</math> חיובי בסביבה ימנית של <math>a</math> ושלילי משמאלה. כיון שסימן <math>f^{(n+1)}</math> קבוע בסביבת <math>a</math> , סה"כ מצד אחד <math>f(x)>f(a)</math> ומהצד השני <math>f(x)<f(a)</math> . אבל הנגזרת הראשונה מתאפסת ב- <math>a</math> ולכן המשיק הוא <math>y=f(a)</math> , ולכן הפונקציה קטנה ממנו בצד אחד וגדולה ממנו בצד השני ולכן <math>a</math> הנה '''[[נקודת פיתול]]'''.