פירוק פולינום

להלן מספר שיטות שיעזרו לנו לאורך הקורס בפירוק פולינומים או בקביעה האם הם ראשוניים.

(למתעניינים, קיימים אלגוריתמים לפירוק פולינומים מעל שדות סופיים ומעל הרחבות של הרציונליים. לא נגע בהם כאן.)

6 כללים\שיטות

(1) כל פולינום ממעלה 1 הוא אי פריק.

(2) פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא אי פריק אם ורק אם אין לו שורש.

דוגמא: $x^3+x+1$ אי פריק מעל $\mathbb{Z}_2$ כי אין לו שורשים בשדה.

(3) קריטריון אייזנשטיין:

יהי $C$ חוג חילופי ו-$P$ אידיאל ראשוני. יהי $f(x)=a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0\in C[x]$ כך ש:

א. $a_n\notin P$

ב. $a_i\in P$ לכל $0<i<n$

ג. $a_n\in P\setminus P^2$

אזי $f(x)$ אי פריק ב-$C[x]$.

לרוב משתמשים בקריטריון אייזנשטיין יחד עם הלמה של גאוס:

יהי $C$ תחום פריקות יחידה עם שדה שברים $F$ ו-$f(x)\in C[x]$ פולינום כך ש:

א. המחלק המשותף המקסימלי של מקדמי $f$ הוא 1.

ב. קיימים $g(x),h(x)\in F[x]$ כך ש-$f(x)=g(x)h(x)$.

אזי $g(x),h(x)\in C[x]$.

בפרט, נובע שפולינום $f(x)\in C[x]$ הוא אי פריק ב-$F[x]$ אם ורק אם הוא אי פריק ב-$C[x]$.

דוגמא: $2x^5+6x^4+9x+3$ אי פריק ב-$\mathbb{Q}[x]$. נשתמש בקריטריון אייזנשטיין עם $p=3$ כדי להראות שהפולינום אי-פריק ב-$\mathbb{Z}[x]$ ואז נשתמש בלמה של גאוס כדי להסיק שהפולינום אי פריק ב-$\mathbb{Q}[x]$.

(4) מעבר לשדה גדול יותר: נפרק את הפולינום מעל שדה גדול יותר מהשדה שלנו (בדרך כלל המרוכבים או הממשיים). אז ננסה לכפול את הגורמים שקיבלנו כדי לקבל פירוק מעל השדה שלנו. אם ניסינו את כל האפשרויות ונכשלנו, הפולינום אי פריק.

תרגיל: הראו כי $x^4+3x^2+1$ אי פריק מעל הרציונלים על ידי פירוקו מעל המרוכבים.

(5) אם השדה סופי ורוצים לפרק את $f(x)$ אפשר לנסות לחלק את $f$ בכל הפולינומים הראשוניים עד מעלה $\deg f/2$ (כולל).

תרגיל: הראו כי יש רק פולינום אי פריק אחד ממעלה 2 מעל $\mathbb{Z}_2$ נצלו זאת כדי להראות ש-$x^4+x^3+1$ אי פריק מעל שדה זה.

(6) כשכל השאר נכשל: אם הפולינום $f$ הוא ב-$C[x]$ ול-$C$ יש אידיאל $P$ כך שמעל $C/P$ הפולינום $f$ אי פריק, אז הוא גם אי פריק ב-$C[x]$ (ממשיכים עם הלמה של גאוס).

דוגמא: $x^4+17x^3+2x^2+4x+5$ הוא אי פריק מעל $\mathbb{Z}$ כי מעל $\mathbb{Z}_2$ הוא שווה לפולינום $x^4+x^3+1$ וזה פולינום אי פריק (לפי התרגיל האחרון).