פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ג, מועד ב, שאלה 3 בחלק III

$A=\begin{pmatrix} 3 &1 & 0\\ 0& 2 &0 \\ 0&0 & 2 \end{pmatrix}$

לא ניתן לחלק את המטריצה לבלוקי ז'ורדן, ולכן היא אינה צורת ז'ורדן (שכן אם נניח בשלילה ש$A$ היא צורת ז'ורדן, אז קיומו של 1 מעל האלכסון מכריח את $\begin{pmatrix} 3 &1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ להיות בלוק ז'ורדן, אבל באלכסון יש שני איברים שונים, בסתירה). לכן תשובה א' שגוייה.

נמצא פ"א: $p_A(x)=\begin{pmatrix} x-3 &-1 & 0\\ 0&x-2 &0 \\ 0&0 & x-2 \end{pmatrix}=(x-3)(x-2)^2$

הפ"א מתפרק לגורמים לינאריים, ולכן A ניתנת ללכסון, ולכן תשובה ב' נכונה.

$x-3$ הוא גורם של הפ"א, ולכן 3 הוא שורש של הפ"א (הוכחנו את זה ב'עובדות על פולינומים' אצל פרופ' קוניאבסקי, וזה ברור מאליו בכ"מ), ולכן תשובה ד' שגוייה.

מתקיים $(A-2I)(A-3I)=A=\begin{pmatrix} 0 &1 & 0\\ 0& -1 &0 \\ 0&0 & -1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 &1 & 0\\ 0& 0&0 \\ 0&0 & 0 \end{pmatrix} =0$, ולכן הפ"מ הוא $(x-3)(x-2)$, ושונה מהפ"א. לכן תשובה ג' שגוייה.

בסה"כ קיבלנו שתשובה ב' היא הנכונה. מש"ל.