הצגת המקור של פתרונות לקורס לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - תרגיל 1

= תרגיל 1 =
== 1.7 ==
<math>A =\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}</math>
הפולינום האופייני הינו
<math>f_A(\lambda)=|\lambda I-A|=|\begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{bmatrix} -\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}|=|\begin{bmatrix} \lambda-1 & -1 \\ 1 & \lambda-1 \end{bmatrix}|=(\lambda-1)^2+1</math>

אבל זה ביטוי שתמיד גדול מאפס ולכן לא קיים <math>\lambda</math> שמאפס את הפולינום האופייני. כלומר לא קיימים ערכים עצמיים.

== 1.9 ==
תוצאת המכפלה <math>B\cdot\begin{bmatrix}1\\1\\1\\ \vdots \\1\end{bmatrix}</math> היא וקטור שהעמודה הi שלו היא סכום השורה הi של B. השורות של <math>A^t</math> הינן העמודות של <math>A</math> ולכן <math>A\cdot\begin{bmatrix}1\\1\\1\\ \vdots \\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\1\\1\\ \vdots \\1\end{bmatrix}</math> כי הרי סכום כל עמודה של <math>A</math> הוא אחד. לכן הוקטור העצמי הוא <math>\begin{bmatrix}1\\1\\1\\ \vdots \\1\end{bmatrix}</math> והערך העצמי הוא <math>1</math>

== 1.15 ==
* א. <math>A</math> ניליפוטנטית מסדר <math>k</math> לכן <math>A^{k-1}\neq 0</math> וגם <math>A^k=0</math>. נניח <math>\lambda</math> ע"ע של <math>A</math>. לכן <math>Av=\lambda v</math> עבור איזה <math>v\neq 0</math>. נכפול ב<math>A^{k-1}</math> לקבל <math>0=A^kv=\lambda^kv</math> אבל <math>v\neq 0</math> לכן <math>\lambda=0</math>. אפס חייב להיות ערך עצמי של <math>A</math> מכיוון שאפס הוא ע"ע של כל מטריצה לא הפיכה (ובוודאי ניליפוטנטית לא הפיכה). בסיכום, 0 ע"ע של <math>A</math> והוא יחיד.

* ב. <math>\alpha I - A</math> הפיכה אם"ם <math>|\alpha I - A|\neq 0</math> אם"ם <math>\alpha</math> לא ע"ע של <math>A</math> אם"ם (לפי א') <math>\alpha\neq 0</math>.

*ג. <math>\sum_{j=0}^{k-1}\frac{1}{\alpha^{j+1}}A^j \cdot (\alpha I - A) = \sum_{j=0}^{k-1}\frac{1}{\alpha^j}A^j - \sum_{j=0}^{k-1}\frac{1}{\alpha^{j+1}}A^{j+1} = A^0-A^k=I</math>

== 2.5 ==
*א. עמודות <math>P</math> מהוות בסיס ולכן בת"ל ולכן <math>P</math> הפיכה.

*ב. <math>D=P^{-1}AP</math>.

<math>C_i(D)=P^{-1}C_i(AP)</math>.

<math>C_i(AP)=AC_i(P)</math>.

אבל עמודות <math>P</math> הן וקטורים עצמיים של <math>A</math>. לכן
<math>AC_i(P)=\lambda_iC_i(P)</math>

<math>I=P^{-1}P</math>

<math>C_i(I)=P^{-1}C_i(P)</math>

בסיכום:

<math>C_i(D)=P^{-1}\lambda_iC_i(P)=\lambda_iC_i(I)</math>

ובמילים, <math>D</math> אלכסונית

== 2.7 ==
א.

<math>A=\begin{bmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & 3\end{bmatrix}</math>

קודם כל נחשב את הפולינום האופייני של <math>A</math>:

<math>-f_A=|A-\lambda I|=| \begin{bmatrix} 3- \lambda & 1 & 1 \\ 2 & 4- \lambda & 2 \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}|= |\begin{bmatrix} 0 & -2+\lambda & 1-(3-\lambda)^2 \\ 0 & 2- \lambda & -4+2\lambda \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}|=(\lambda-2)^2(\lambda-6)</math>

כעת אנו צריכים למצוא בסיסים למרחבים העצמיים של <math>A</math>. המרחב העצמי של <math>\lambda</math> שווה למרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית <math>(A-\lambda I)v=0</math>. בסיס למרחב הפתרונות של <math>(A-2I)v=0</math> הינו <math>\{(-1,1,0),(-1,0,1)\}</math> ובסיס למרחב הפתרונות של <math>(A-6I)v=0</math> הינו <math>\{(1,2,1)\}</math>.

חישבנו בסיסים של המרחבים העצמיים, סכום מימדי הבסיסים הינו 3 ולכן יש בסיס למרחב כולו המורכב מוקטורים עצמיים של <math>A</math>:

<math>B=\{(-1,1,0),(-1,0,1),(1,2,1)\}</math>

נשים את וקטורי הבסיס הזה בעמודות לקבל את המטריצה <math>P=\begin{bmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}</math>

<math>P^{-1}=\frac{1}{4}\begin{bmatrix} -2 & 2 & -2 \\ -1 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 1\end{bmatrix}</math>

ועל מנת ללכסן את המטריצה אנחנו צריכים לבצע את הכפל הבא: <math>D=P^{-1}AP</math> לקבל -

<math>\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 6\end{bmatrix}</math>

ב.

<math>\frac{1}{2^{21}}A^{21}= \frac{1}{2^{21}}(PDP^{-1})^{21}=P\frac{1}{2^{21}}D^{21}P^{-1}=P\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3^{21} \end{bmatrix}P^{-1}</math>